CF教育场 104 解题补题报告
A题 Arena （签到）
现在有 \(n\) 个英雄，第 \(i\) 个英雄的初始等级为 \(a_i\) 。
两个英雄可以战斗（不止一次），等级高的那个将会获胜，并且等级升一级（如果两个等级一样，那么就是平局，等级不变化）。如果一个英雄等级高于所有别的英雄，那么他就会成为王者。
问，有多少英雄有可能成为王者？
\(2\leq n \leq 100,1\leq a_i\leq 100\)
这题一开始给我整懵了，后来才发现是一个白给题
很显然，对于那些等级最低的英雄（们），他们不可能赢（至多平局），等级不可能提升到比别的英雄高
其他的英雄，只要逮着这些等级最低的菜鸡刷经验，那么就可以把等级一路刷上去，然后成为王者
所以只要把数组里面的最小元素全筛掉，剩下的元素的个数就是答案了
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N = 110;
int n, a[N];
void solve()
{
scanf("%d", &n);
for (int i = 1; i <= n; ++i)
scanf("%d", &a[i]);
int Minv = 110;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
Minv = min(Minv, a[i]);
int ans = 0;
for (int i = 1; i <= n; ++i)
if (a[i] != Minv) ++ans;
printf("%d\n", ans);
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) solve();
return 0;
}
B题 Cat Cycle
有两只猫 \(A\) 和 \(B\)，以及 \(n\) 个垫子。
按照时刻顺序，\(A\) 会坐在的垫子的编号分别是 \(n,n-1,...,3,2,1,n,n-1,...\) ，而 \(B\) 则是 \(1,2,3,...,n-1,n,1,2,3,...\) 。
如果 \(A\) 和 \(B\) 产生冲突，那么优先遵循 \(A\) 的要求，并且此后 \(B\) 不会再去尝试坐在这个曾经产生冲突的垫子。
给定 \(k\)，问 \(B\) 在时刻 \(k\) 会坐在哪个垫子上面？
\(2 \leq n \leq 10^9,1 \leq k \leq 10^9\)
不难发现， \(n\) 是偶数的时候，两只猫不会产生冲突，所以直接输出 \((k-1)\%n+1\) 即可。
\(n\) 是奇数就比较离谱了：并不是很会（逃
C题 Minimum Ties （思维，构造）
有 \(n\) 支队伍，两两之间打一场比赛，比赛会有两种情况：
- 平局，两队各得 \(1\) 分
- 出现胜负，胜者得 \(3\) 分，败者不得分
现在尝试安排一种比赛安排（包括他们的胜负），可以使得最后所有队伍得分相同，并且平局数量最少，并且输出该方案
\(2 \leq n \leq 100\)
我们不妨记有 \(k\) 局具有明确胜负，\(\frac{n(n-1)}{2}-k\) 局是平局，最后总得分则是 \(3k+2(\frac{n(n-1)}{2}-k)=n(n-1)+k\)。
所有人得分相同，那么 \(k\) 必须可以被 \(n\) 整除，且 \(k\) 的值越大越好，那么 \(0 \leq \frac{k}{n} \leq \frac{n-1}{2}\) 。换言之，\(\frac{k}{n}\) 是不大于 \(\frac{n-1}{2}\) 的最大值。
那么很显然： \(n\) 为奇数时，没有平局；\(n\) 为偶数时，恰好有 \(\frac{n}{2}\) 局平局。
代码略（其实是我不会
D题 Pythagorean Triples （数学）
给定正整数 \(n\)，问有多少三元组 \((a,b,c)\) 同时满足 \(a^2+b^2=c^2,a^2=b+c\) 。
\(1 \leq a \leq b \leq c \leq n\)
不难发现，\(c^2-b^2=(c+b)(c-b)=b+c\) ，故 \(c=b+1,a^2=2b+1\)
因为 \(a \leq b\)，不难证明 \(b \geq 4\) 。
那么问题就显然了：有多少个 \(b\) ，满足 \(4 \leq b < n\) ，且 \(2b+1\) 是完全平方数？
打表发现，当且仅当 \(b=2k(k+1)\) 时成立，那么照着写就完事了。
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define LL long long
void solve()
{
LL n, k;
scanf("%lld", &n);
for (k = 1; 2*k*(k+1) < n; ++k);
printf("%lld\n", k-1);
}
int main()
{
int T;
scanf("%d", &T);
while (T--) solve();
return 0;
}
下面给出数学证明：显然 \(a\) 是奇数，所以不妨设 \(a=2k+1\) ，所以 \(b=\frac{(2k+1)^2-1}{2}=2k(k+1)\) （逃
