P3410 拍照 （对最大权值闭合图的初步学习）
分析
老实说，如果让我以前写这题，我也根本想不到用网络流（甚至图论）来做。
使得什么什么最大，那么尝试网络流建模，然鹅过了一会，发现建的并不是很模。
我们发现，这里存在着一种依赖关系：如果你想选择某件东西，那么有些其依赖东西必须得被选。（感觉有点像软件包的依赖关系？打扰了，这题并不是树剖）
显然这里并不是我的大脑能够理解的了，去翻了下题解（qwq），发现了一片新天地：
最大权值闭合图
别人讲的已经蛮好的了，我这里给出博客链接（其实可以直接去这题的题解区就能看到）：链接
这里给出一个归纳：
闭合图，是指原图中的这么一种子图，子图中的每个点，以其为起点开始遍历到的所有点都在这个子图之中，称其为闭合图。
如果每个点都有一个权值，那么我们尝试着找出原图中间的每个闭合图，找出里面权值最大的，这个找出来的闭合图被称为最大权值闭合图。
我们有这样一种建图方式：建立超级源 S 和超级汇 T，若某个点权值为正，从 S 向他连一个容量为权值的边；为负，则从他向 T 连一个容量为权值的绝对值的边（如果权值为 0，那么就不用连了），同时如果两个点在原图里面有边相连，就在网络流里面连一条容量为 INF 的边。
我们记下所有正权值之和 sum，这个网络图的最小割（也就是最大流）maxflow，那么最大权值闭合图的权值之和即为 sum - maxflow。
继续分析
好了，那么这题和这个知识点有啥联系呢？
我们可以这么构建原图：每个想要拍照的人是一个点，点权为这个人愿意付的钱；每个下属也是一个点，点权是他需要花的钱，得是负数来表示（例如某个员工要花 7 块才能让他配合拍照，那么点权就是 -7）。如果某个人需要和哪些员工合影，那么从这个人向这些员工各连一条有向边。
那么我们可以发现，本题的答案，就是这个图中的最大权值闭合图的权值和。
为什么这么说，我们发现，对于图中每个拍照人，选了它而不选它需要的员工是不行的，对应在图中，就是选了一个点，必须得把它的后继点全部选上去，否则不满足闭合图性质，那么我们这个图构建的就是正确的。
在这图上面跑一边最大流，输出答案就行了，芜湖，起飞！
代码
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int INF = 1 << 30, N = 210;
struct Edge {
int from, to, flow;
Edge(int u, int v, int f) : from(u), to(v), flow(f) {}
};
int n, m, s, t;
vector<Edge> edges;
vector<int> G[N];
void addEdge(int from, int to, int flow) {
edges.push_back((Edge){from, to, flow});
edges.push_back((Edge){to, from, 0 });
G[from].push_back(edges.size() - 2);
G[ to ].push_back(edges.size() - 1);
}
int d[N];
queue<int>q;
bool bfs() {
memset(d, 0, sizeof(d));
while (!q.empty()) q.pop();
q.push(s), d[s] = 1;
while (!q.empty()) {
int x = q.front(); q.pop();
if (x == t) return true;
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[x][i]];
int to = e.to;
if (!d[to] && e.flow)
q.push(to), d[to] = d[x] + 1;
}
}
return false;
}
int Dinic (int x, int flow) {
if (x == t) return flow;
int rest = flow;
for (int i = 0; i < G[x].size(); ++i) {
Edge &e = edges[G[x][i]], &fe = edges[G[x][i]^1];
int to = e.to;
if (e.flow && d[to] == d[x] + 1) {
int k = Dinic(to, min(rest, e.flow));
if (!k) d[to] = 0;
e.flow -= k, fe.flow += k;
rest -= k;
if (rest == 0) break;
}
}
if (rest == flow) d[x] = 0;
return flow - rest;
}
int main()
{
scanf("%d%d", &m, &n);
s = 0, t = m + n + 1;
long long sum = 0;
for (int i = 1; i <= m; ++i) {
int val, to;
scanf("%d", &val);
sum += val;
addEdge(s, i, val);
while (1) {
scanf("%d", &to);
if (!to) break;
addEdge(i, m + to, INF);
}
}
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
int val;
scanf("%d", &val);
addEdge(m + i, t, val);
}
long long maxflow = 0, flow;
while (bfs())
while (flow = Dinic(s, INF)) maxflow += flow;
printf("%lld", sum - maxflow);
return 0;
}
后记
最大权值闭合图是最小割类题目中一种相当常见的类型，不能不仔细研究学习。
这里给出一些例题，作为这题的补充：
网络流属实博大精深，学自闭了都要（qwq）
