题解 UVA11526 【H(n)】

$\text{Link}$

$\text{upd2021.7.23}$：对某些地方进行修改。

题意

求

long long H(int n){
    long long res=0;
    for( int i = 1; i <= n; i=i+1 ){
        res = (res + n/i);
    }
    return res;
}

的值。

多组数据。

$1\le T\le 10^3,1\le n<2^{31}$

思路

很明显，直接模拟题目给出的函数会 TLE。

我们理解一下题目给的代码，其实就是求 $$\sum\limits_{i=1}^n\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor$$

此时，我们需要引入算法：整除分块（又称数论分块、除法分块）。此算法可以快速求出形如 $$\sum\limits_{i=1}^nf(\left\lfloor\dfrac{n}{i}\right\rfloor)$$ 的式子，在数论题目中有着广泛的用途。

对于一些情况，一段数满足 $$\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{n}{l+1}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{n}{l+2}\right\rfloor = ... = \left\lfloor\dfrac{n}{l+m}\right\rfloor = ... = \left\lfloor\dfrac{n}{r-1}\right\rfloor = \left\lfloor\dfrac{n}{r}\right\rfloor$$ 这时候我们把这个值重复地加了几遍，浪费了时间。

我们可由向下取整的性质得：

$$\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor\leqslant\dfrac{n}{r}<\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor+1$$

化简得

$$r\leqslant\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor}\right\rfloor$$

$$r_{max}=\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor}\right\rfloor$$

所以对于上面这 $r-l+1$ 个相同的数它们的和为 $$(\left\lfloor\dfrac{n}{\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor}\right\rfloor-l+1)×\left\lfloor\dfrac{n}{l}\right\rfloor$$

分析一下时间复杂度，发现时间复杂度即对于 $n$，所有的 $\lfloor\frac n i\rfloor$ 的取值数量，可以知道，$\lfloor\frac n i\rfloor$ 可以取得 $1,2,\cdot\cdot\cdot,\sqrt n,\lfloor\frac n {\sqrt n}\rfloor,\lfloor\frac n {\sqrt n-1}\rfloor,\cdot\cdot\cdot,n$ 这 $O(\sqrt n)$ 种取值，即时间复杂度为 $O(T\sqrt n)$。

注意此题轻微卡常。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read(){

}
inline int h(int n){
    if(!n){
        return 0;
    }
    int res=0,j;
    for(register int i=1;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        res+=(j-i+1)*(n/i);
    }
    return res;
}
signed main(){
    int t,n;
    t=read();
    while(t--){
        n=read();
        printf("%lld\n",h(n));
    }
    return 0;
}

再见 qwq~