题解 P7334【[JRKSJ R1] 吊打】

$\text{Link}$

题意

给出 $n,m$ 表示长为 $n$ 的序列 $a$ ， $m$ 次操作，支持两种操作：

1 l r，对所有 $i\in[l,r]$ ，将 $a_i\gets\left\lfloor\sqrt{a_i}\right\rfloor$ 。
2 l r，对所有 $i\in[l,r]$ ，将 $a_i\gets{a_i}^2$ 。

最后输出 $\displaystyle\left(\sum_{i=1}^na_i\right)\bmod 998244353$ 。

时间 1s， $n,m\le 2\times10^5$ 。

思路

$\text{Update 2022.4.21}$ ：重构全文。

发现区间开方直接拍一个分块上去，参考 P4145。

这里不好维护原数，考虑维护 $i$ 位置上的数被平方的次数 $s_i$ 。

操作 $1$ 为区间加。考虑操作 $2$ ，散块暴力，整块维护 $s_i$ 最小值。若 $\min s_i\ge1$ ，直接打区间减 $\text{tag}$ ，否则若 $\max a_i= 1$ ，跳过，否则暴力开方或将 $s_i$ 减一。

由势能分析，我们知道这部分是 $O(n\sqrt {n\log\log w})$ 的。

求出 $s_i$ 后考虑得出答案，用欧拉定理降幂，预处理一下 $2^{k}\bmod998244352$ ,即可在 $O(\log p)$ 时间内求出 $a_i^{2^{s_i}}$ ，总时间复杂度为 $O(n\sqrt{n\log\log w})$ ，期望得分 $100$ 分。

我没写代码， $\text{dqstz}$ 写了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int mx=2e5+5; 
const int mod=998244353;
int a[mx];
int bl[mx],fl[mx],fr[mx];
int s[mx],tag[mx],mn[mx],os[mx];
int pow2[mx];
int n,b,ks;
void init()
{
    int i,j,k,mx;
    b=sqrt(n);
    for(i=1;i-1+b<=n;i+=b)
        fl[++ks]=i,fr[ks]=i-1+b;
    if(i<=n)
        fl[++ks]=i,fr[ks]=n;
    for(i=1;i<=ks;i++)
        for(j=fl[i];j<=fr[i];j++)
            bl[j]=i;
}
int qpow(int a,int p,int mod)
{
    if(p==0) return 1;
    if(p==1) return a;
    long long t=qpow(a,p/2,mod);
    return t*t%mod*qpow(a,p%2,mod)%mod;
}
int read()
{
    int s=0;
    char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
    while(ch>='0'&&ch<='9') s=s*10+ch-'0',ch=getchar();
    return s;
}
void cg(int x)
{
    mn[x]=2e9;
    for(int i=fl[x];i<=fr[x];i++)
        mn[x]=min(mn[x],s[i]+tag[x]);
}
void zk(int x)
{
    for(int i=fl[x];i<=fr[x];i++)
        s[i]+=tag[x];
    tag[x]=0;
}
void add(int l,int r)
{
    if(bl[l]==bl[r])
    {
        zk(bl[l]);
        for(;l<=r;l++)
            s[l]++;
        cg(bl[l-1]);
        return;
    }
    add(l,fr[bl[l]]),add(fl[bl[r]],r);
    int i;
    for(i=bl[l]+1;i<bl[r];i++)
        tag[i]++,mn[i]++;
}
void sqrt(int l,int r)
{
    if(bl[l]==bl[r])
    {
        zk(bl[l]);
        for(;l<=r;l++)
        {
            if(a[l]==1) continue;
            if(s[l]==0) 
            {
                a[l]=sqrt(a[l]);
                os[bl[l]]+=a[l]==1;
            }
            else s[l]--;
        }
        cg(bl[l-1]);    
        return;
    }
    sqrt(l,fr[bl[l]]),sqrt(fl[bl[r]],r);
    for(int i=bl[l]+1;i<bl[r];i++)
    {
        if(os[i]==fr[i]-fl[i]+1) continue;
        if(mn[i]==0)
            sqrt(fl[i],fr[i]);      
        else
            mn[i]--,tag[i]--;   
    }               
}
int main()
{
    int m,i,opt,l,r,sum=0,wz=2e9,qwq;
    n=read(),m=read();
    init();
    pow2[0]=1;
    for(i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    for(i=1;i<=m;i++)
    {
        pow2[i]=pow2[i-1]*2;
        if(pow2[i]>=mod-1&&wz==2e9) wz=i;
        pow2[i]%=mod-1;
    }
    while(m--)
    {
        opt=read(),l=read(),r=read();
        if(opt==1) sqrt(l,r);
        else add(l,r);
    }
    for(i=1;i<=ks;i++)
        zk(i);
    for(i=1;i<=n;i++)
    {
        if(a[i]==1)
        {
            sum=(sum+1)%mod;
            continue;
        }
        qwq=pow2[s[i]];
        if(s[i]>=wz) qwq+=mod-1;
        sum=(sum+qpow(a[i],qwq,mod))%mod;   
    }
    cout<<sum%mod;
}