题解 P7549【[BJWC2017] 神秘物质】
在校内 $\text{OJ}$ 看到的一道题，在 $\text{Luogu}$ 找到了，发现没有题解，于是来写一个。
sto zltzlt orz.
题意
给你一个序列 $a$，支持 $4$ 个操作：
- $\text{merge x e}$，删除结点 $x,x+1$，在 $x$ 的位置插入一个节点，权值为 $e$；
- $\text{insert x e}$，在 $x$ 和 $x+1$ 之间插入一个节点，权值为 $e$；
- $\text{max l r}$，查询区间 $[l,r]$ 中任意子区间的区间极差的最大值；
-
$\text{min l r}$，查询区间 $[l,r]$ 中任意子区间的区间极差的最小值。
$1\le n,m\le 10^5$.
思路
看到插入、删除就可以想到使用文艺平衡树来解决问题，这里我使用 $\text{Splay}$，操作 $1,2$ 十分显然。
$3$ 操作可以直接维护区间的最大值和最小值，答案就是它们做差。
$4$ 操作中，我们设答案的子区间为 $[l',r']$，设其中最大值为 $a$，最小值为 $b$，若区间中加入一个数 $v$，则 $a\gets \max(a,v),b\gets\min(b,v),\max(a,v)-\min(b,v)\ge a-b$，即插入一个数显然不会更优，所以答案区间长度为 $2$。所以我们可以维护每个数与其左右的差的绝对值，分别设为 $lb_x,rb_x$，再维护 $ms_x$ 代表 $x$ 子树内 $lb,rb$ 的最小值，答案即为 $ms$。注意需要特判 $l+1=r$ 的情况，直接取 $rb_l$。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff
}
const int N=5e5+10,INF=1e9+10;
int s[N];
int n,m;
struct Splay{
#define ls a[x].son[0]
#define rs a[x].son[1]
int rt,sz;
struct node{
int f,val,son[2],sz;
int minn=INF,maxn,lb,rb,ms;
inline void clear(){
f=maxn=son[0]=son[1]=val=sz=0;
minn=ms=lb=rb=INF;
}
}a[N];
inline bool isr(int x){return a[a[x].f].son[1]==x;}
inline void upd(int x){
node &p=a[x];
p.maxn=p.minn=p.val;
p.ms=min(p.lb,p.rb);
if(ls) p.maxn=max(p.maxn,a[ls].maxn),p.minn=min(p.minn,a[ls].minn),p.ms=min(p.ms,a[ls].ms);
if(rs) p.maxn=max(p.maxn,a[rs].maxn),p.minn=min(p.minn,a[rs].minn),p.ms=min(p.ms,a[rs].ms);
p.sz=a[ls].sz+1+a[rs].sz;
}
inline int newnode(int v){
sz++;
a[sz].minn=a[sz].maxn=a[sz].val=v;
return sz;
}
inline void rotate(int x){
int f=a[x].f,gf=a[f].f;
int id=isr(x);
a[f].son[id]=a[x].son[id^1];
a[a[f].son[id]].f=f;
a[x].son[id^1]=f;
a[f].f=x;
a[x].f=gf;
if(gf){
a[gf].son[a[gf].son[1]==f]=x;
}
upd(f);
}
inline void splay(int x,int goal=0){
goal=a[goal].f;
for(int f;(f=a[x].f)!=goal;rotate(x)){
if(a[f].f!=goal){
rotate(isr(x)==isr(f)?f:x);
}
}
if(!goal)
rt=x;
}
inline int build(int l,int r,int f){
if(l>r)return 0;
int mid=l+r>>1;
sz++;
int now=sz;
a[now].f=f;
a[now].val=s[mid];
a[now].lb=mid?abs(s[mid]-s[mid-1]):INF;
a[now].rb=mid!=n+1?abs(s[mid]-s[mid+1]):INF;
a[now].son[0]=build(l,mid-1,now);
a[now].son[1]=build(mid+1,r,now);
upd(now);
return now;
}
inline int find(int x){
int now=rt;
while(1){
if(x<=a[a[now].son[0]].sz){
now=a[now].son[0];
}else{
x-=a[a[now].son[0]].sz+1;
if(!x){
return now;
}
now=a[now].son[1];
}
}
}
inline int split(int l,int r){
int x=find(l);
splay(x,rt);
int y=find(r+2);
splay(y,a[x].son[1]);
return a[y].son[0];
}
inline void MoMerge(int wz,int v){
int x=split(wz,wz+1),f=rt,y=a[f].son[1];
a[x].val=v;
if(ls) a[ls].clear(),ls=0;
if(rs) a[rs].clear(),rs=0;
a[f].rb=a[x].lb=abs(v-a[f].val);
a[x].rb=a[y].lb=abs(v-a[y].val);
upd(x),upd(y),upd(f);
}
inline void MoInsert(int wz,int v){
int x=split(wz,wz),f=rt,y=a[f].son[1],z=newnode(v);
a[z].f=x;
a[x].son[1]=z;
a[x].rb=a[z].lb=abs(v-a[x].val);
a[z].rb=a[y].lb=abs(v-a[y].val);
upd(z),upd(x),upd(y);
}
inline int QuMax(int l,int r){
int x=split(l,r);
return a[x].maxn-a[x].minn;
}
inline int QuMin(int l,int r){
int x;
if(r-l<=1){
x=split(l,r-1);
return a[x].rb;
}else{
x=split(l+1,r-1);
return a[x].ms;
}
}
}t;
int main(){
n=read(),m=read();
s[0]=INF;
for(int i=1;i<=n;i++){
s[i]=read();
}
s[n+1]=INF;
t.sz=n+2;
t.rt=t.build(0,n+1,0);
while(m--){
char opt=getc();
switch(opt){
case 'e':{
int wz=read(),v=read();
t.MoMerge(wz,v);
break;
}
case 'n':{
int wz=read(),v=read();
t.MoInsert(wz,v);
break;
}
case 'a':{
int l=read(),r=read();
write(t.QuMax(l,r));
putc('\n');
break;
}
case 'i':{
int l=read(),r=read();
write(t.QuMin(l,r));
putc('\n');
break;
}
}
}
flush();
}再见 qwq~
