题解 P5827【点双连通图计数】

$\text{Link}$

$\text{Update 2024.03.26}$：修改一处式子错误。

题意

求 $n$ 个点的有标号点双连通图数量，对 $998244353$ 取模。

$1\le n\le10^5$。

思路

前置

有标号无向连通图计数、扩展拉格朗日反演。

---

设有根无向连通图的 $\text{EGF}$ 为 $F(x)$，无根点双连通图的 $\text{EGF}$ 为 $G(x)$。

我们显然可以使用有标号无向连通图的 $\text{EGF}$ 乘上 $n$ 以得到 $F(x)$，于是考虑用 $F,G$ 互相表示。

对于一个有根无向连通图，每个点都会被包含在至少 $1$ 个点双中，且每个点双的大小不少于 $2$。注意还需要特判 $n=1$ 时输出 $1$。

考虑断掉根连出的边，无向连通图被划分成若干连通块，根据 $\exp$ 的集合意义，求出单个连通块的 $\text{EGF}$ 即可。

对于根所在的任意一个点双连通块，若在其任何除根以外的一点连上一个以该点为根的无向连通图不会影响根所在的任意一个点双的大小，故单个连通块的 $\text{EGF}$ 为

$$\sum_{n\ge1}g_{n+1}\frac{F^n(x)}{n!}$$

可以直接得到

$$\begin{aligned} F(x)&=x\exp(\sum_{n\ge1}g_{n+1}\frac{F^n(x)}{n!})\\ &=x\exp(G'(F(x)))\\ \ln \frac{F(x)}x&=G'(F(x)) \end{aligned}$$

令 $H(x)=\ln\dfrac{F(x)}{x}$，有 $G'(F(x))=H(x)$，根据扩展拉格朗日反演有

$$\begin{aligned} [x^n]G'(x)&=\frac 1 n\cdot[x^{n-1}]H'(x)\frac{x^n}{F^n(x)}\\ &=\frac 1 n\cdot[x^{n-1}]H'(x)\exp(\ln(\left(\frac{F(x)}{x}\right)^{-n}))\\ &=\frac 1 n\cdot[x^{n-1}]H'(x)\exp(-nH(x)) \end{aligned}$$

至此直接求解即可。

时间复杂度 $O(n\log n)$。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff
	
}
const int mod=998244353,N=524288+10;
namespace Poly{
	int n,m,a[N],b[N],c[N],s[N],ss[N],d[N],e[N];
	int f[N],g[N],h[N],F[N],tmp1[N],tmp2[N],tmp3[N];
	int rev[N],inv[N],fac[N],ifac[N],G[19][N],lim;
	inline void init(int n,int mode=1){
		if(mode){
			int l=0;
			for(lim=1;lim<n;lim<<=1)l++;
			for(int i=1;i<lim;i++)
				rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<(l-1));
		}else{
			for(lim=1;lim<n;lim<<=1);
		}
	}
	inline int qpow(int x,int y){
		int res=1;
		while(y){
			if(y&1) res=1ll*res*x%mod;
			x=1ll*x*x%mod;
			y>>=1;
		}
		return res;
	}
	inline void Prefix(int n){
		inv[1]=1;
		for(int i=2;i<=n;i++)
			inv[i]=1ll*(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
		fac[0]=1;
		for(int i=1;i<=n;i++)
			fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%mod;
		ifac[n]=qpow(fac[n],mod-2);
		for(int i=n;i>=1;i--)
			ifac[i-1]=1ll*ifac[i]*i%mod;
		for(int i=1,p=1;i<=18;i++,p<<=1){
			G[i][0]=1;
			G[i][1]=qpow(3,mod-1>>i);
			for(int j=2;j<p;j++)
				G[i][j]=1ll*G[i][j-1]*G[i][1]%mod;
		}
	}
	inline void NTT(int *a,int t){
		for(int i=0;i<lim;i++)
			if(i<rev[i])
				swap(a[i],a[rev[i]]);
		for(int i=1,t=1;i<lim;i<<=1,t++){
			for(int j=0;j<lim;j+=i<<1){
				int t1,t2;
				for(int k=0;k<i;k++){
					t1=a[j+k];
					t2=1ll*G[t][k]*a[i+j+k]%mod;
					a[j+k]=(t1+t2)%mod;
					a[i+j+k]=(t1-t2+mod)%mod;
				}
			}
		}
		if(t==1) return ;
		int Inv=qpow(lim,mod-2);
		reverse(a+1,a+lim);
		for(int i=0;i<lim;i++)
			a[i]=1ll*a[i]*Inv%mod;
	}
	inline void Inv(int *a,int *b,int n){
		if(n==1){
			b[0]=qpow(a[0],mod-2);
			return ;
		}
		Inv(a,b,n+1>>1);
		init(n<<1);
		for(int i=0;i<n;i++)
			c[i]=a[i];
		for(int i=n;i<lim;i++)
			c[i]=0;
		NTT(c,1),NTT(b,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)
			b[i]=1ll*(2-1ll*c[i]*b[i]%mod+mod)%mod*b[i]%mod;
		NTT(b,-1);
		for(int i=n;i<lim;i++)
			b[i]=0;
	}
	inline void Mul(int *a,int *b,int n){
		init(n<<1);
		memset(c,0,lim<<2);
		memcpy(c,b,n<<2);
		NTT(a,1),NTT(c,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)
			a[i]=1ll*a[i]*c[i]%mod;
		NTT(a,-1);
	}
	inline void Der(int *a,int *b,int n){
		for(int i=1;i<n;i++)
			b[i-1]=1ll*i*a[i]%mod;
		b[n-1]=0;
	}
	inline void Int(int *a,int *b,int n){
		for(int i=1;i<n;i++)
			b[i]=1ll*a[i-1]*inv[i]%mod;
		b[0]=0;
	}
	inline void polyln(int *a,int *b,int n){
		static int p[N];
		memset(p,0,n<<3);
		memset(d,0,n<<3);
		Der(a,p,n);
		Inv(a,d,n);
		Mul(p,d,n);
		Int(p,b,n);
	}
	inline void Log(int n,int *f,int *g){
		init(n);
		polyln(f,g,lim);
		for(int i=n;i<lim;i++)
			g[i]=0;
	}
	inline void polyexp(int n,int *a,int *b){
		if(n==1){
			b[0]=1;
			return ;
		}
		polyexp(n+1>>1,a,b);
		Log(n,b,s);
		for(int i=0;i<n;i++)
			s[i]=a[i]>=s[i]?a[i]-s[i]:a[i]+mod-s[i];
		for(int i=n;i<lim;i++)
			b[i]=s[i]=0;
		s[0]++;
		NTT(s,1),NTT(b,1);
		for(int i=0;i<lim;i++)
			b[i]=1ll*b[i]*s[i]%mod;
		NTT(b,-1);
		for(int i=n;i<lim;i++)
			b[i]=0;
	}
	inline void Exp(int n,int *a,int *b){
		polyexp(n,a,b);
	}
}
using namespace Poly;
int ask[5],L;
inline int solve(int m){
	memset(g,0,sizeof(g));
	memset(tmp1,0,sizeof(tmp1));
	m--;
	if(!m) return 1;
	for(int i=0;i<L;i++)
		g[i]=1ll*(mod-m)*tmp3[i]%mod;
	Exp(L,g,tmp1);
	init(L<<1);
	NTT(tmp1,1);
	for(int i=0;i<lim;i++)
		tmp1[i]=1ll*tmp1[i]*tmp2[i]%mod;
	NTT(tmp1,-1);
	return 1ll*tmp1[m-1]*fac[m-1]%mod;
}
int main(){
	for(int i=0;i<5;i++)
		ask[i]=read(),n=max(n,ask[i]+1);
	init(n,0);
	L=lim;
	Prefix(L);
	for(int i=0;i<L;i++)
		f[i]=1ll*qpow(2,1ll*i*(i-1)/2%(mod-1))*ifac[i]%mod;
	Log(L,f,F);
	Der(F,F,L);
	Log(L,F,tmp3);
	Der(tmp3,tmp2,L);
	NTT(tmp2,1);
	for(int i=0;i<5;i++)
		write(solve(ask[i])),putc('\n');
	flush();
	return 0;
}