题解 P4784【[BalticOI 2016 Day2]城市】
题意
给出一张 $n$ 个点，$m$ 条有权边的无向连通图，其中有 $k$ 个点是关键点。求图的一个子图，满足包含了所有 $k$ 个关键点，使得所包含的边集的权值和最小，求这个最小值。
$n\le 10^5$，$m\le2\times10^5$，$k\le5$
思路
事实上就是 $\text{P6192}$ 的数据加强版。
首先，我们要知道答案子图是一颗树，因为如果其上有个环，可以断开环上任意一条边，点集不会变化但答案会变小。
考虑状压 $\text {dp}$，设 $dp_{i,S}$ 表示以 $i$ 为根的答案中包含了关键点集合 $S$ 时的答案。
有两种情况：$i$ 的度为 $1$ 或大于 $1$。
- 若 $i$ 的度数为 $1$
考虑其与 $j$ 相连，则有转移$$dp_{j,S}+w_{(i,j)}\to dp_{i,S}$$ 再考虑用 $j$ 更新 $i$，可以考虑使用最短路算法，用 $dp_{j,S}$ 更新所有 $dp_{i,S}$，再用被更新的继续更新其它值。这里与板子不同，必须使用 $\text{Dijkstra}$ 。$$dp_{j,S}+dis_{i,j}\to dp_{i,S}$$ 这部分时间复杂度是 $O(2^k\times m\log n)$ 的。
- 若 $i$ 的度数大于 $1$
考虑 $i$ 可以划分成两个子集之并，枚举 $S$ 的子集，用它与其补集的答案之和更新 $dp_{i,S}$，即$$dp_{i,S}\gets dp_{i,T},dp_{i,S\backslash T}$$ 这里简单说明一下枚举子集的时间复杂度：
$$\begin{aligned}\sum_{S⊆\{1,2\dots n\}}2^{|S|}&=\sum_{k=0}^n2^k\sum_{S⊆\{1,2\dots n\}}[|S|=k]\\ &=\sum_{k=0}^n2^k\binom{n}{k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}2^{n-k}\binom{n}{k}\\ &=\sum_{k=0}^{n}1^k2^{n-k}\binom{n}{k}\\ &=3^n\\ \end{aligned}$$
所以这部分时间复杂度是 $O(n\times 3^k)$ 的。
总时间复杂度就是 $O(n\times 3^k+m\log n\times 2^k)$ 的
另外，满足题目要求的树为斯坦纳树，这个算法构建出来的树被称为最小斯坦纳树。
代码：
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff
}
const int N=1e5+10,K=5;
int n,m,k,p[N],up;
int cnt,head[N];
ll dp[N][1<<K];
struct Edge{
int to,nxt,w;
}a[N*4];
inline void add(int u,int v,int w){
cnt++;
a[cnt].to=v;
a[cnt].w=w;
a[cnt].nxt=head[u];
head[u]=cnt;
}
struct node{
int p;
ll w;
inline friend bool operator<(const node &a,const node &b){
return a.w==b.w?a.p<b.p:a.w>b.w;
}
};
priority_queue<node>q;
bool vis[N];
inline void dijkstra(int s){
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(!q.empty()){
node p=q.top();
q.pop();
int rt=p.p;
if(vis[rt]) continue;
vis[rt]=1;
for(int i=head[rt];i;i=a[i].nxt){
int t=a[i].to;
if(dp[t][s]>dp[rt][s]+a[i].w){
dp[t][s]=dp[rt][s]+a[i].w;
if(!vis[t])
q.push({t,dp[t][s]});
}
}
}
}
int main(){
memset(dp,127/3,sizeof(dp));
n=read(),k=read(),m=read();
for(int i=1;i<=k;i++){
p[i]=read();
dp[p[i]][1<<i-1]=0;
}
for(int i=1;i<=m;i++){
int u=read(),v=read(),w=read();
add(u,v,w),add(v,u,w);
}
up=(1<<k)-1;
for(int s1=0;s1<=up;s1++){
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int s2=s1&s1-1;s2;s2=s2-1&s1)
dp[i][s1]=min(dp[i][s1],dp[i][s2]+dp[i][s1^s2]);
if(dp[i][s1]<1e17)
q.push({i,dp[i][s1]});
}
dijkstra(s1);
}
write(dp[p[1]][up]);
flush();
}再见 qwq~
