题解 P5692【[MtOI2019] 手牵手走向明天】

$\text{Upd2024.2.13}$ ：修改笔误。

$\text{Link}$

题意

给你一个长为 $n$ 序列的 $a$ ，支持操作共 $q$ 次：

将区间 $[l,r]$ 中所有等于 $x$ 的数修改为 $y$ ，即 $\forall i\in[l,r]\land a_i=x$ ，执行 $a_i\gets y$ 。
查询序列的区间 $[l,r]$ 中 $x$ 与 $y$ 出现位置两两之差的最小值，即求 $\displaystyle\min_{a_i=x,l\le i\le r}\min_{a_j=y,l\le j\le r}|i-j|$ 。

时间 1.5s， $1\le n,q,a_i\le 10^5$ .

思路

前置知识：P5397 [Ynoi2018] 天降之物 - 第四分块。

第四分块的加强版。

一些记号需在我的第四分块题解中了解。

本篇题解中记号采用原题解中卡常部分之前的记号。

记 $b_i=inp_{bel_i,a_i}$ 。

首先考虑比原题多了什么，多的是散块修改与散块询问。

先看较为简单的散块询问，显然，恢复两个散块的序列，扫的时候记录 $lasx,lasy$ 即可，与整块基本无异。

然后就是非常恶心的散块修改。其中散块修改可能会使块中颜色数 $+1$ ，但块中颜色数始终是 $O(\sqrt n)$ 的，于是我们动态分配空间，具体地，记录未被使用的离散化值，在删除时加入，出现当前没有的数时分配一个离散化值给它。

对修改分类讨论。设散块为 $[L,R]$ ，修改区间为 $[l,r]$ 。

区间 $[l,r]$ 中无 $x$ ，直接跳过；
区间 $[l, r]$ 中有 $x$ ，且 $[L, R]$ 中无 $y$ ：
1. 区间 $[L,l)\cup(r,R]$ 中无 $x$ ：相当于整块修改，令 $ind_{i,inp_{i,x}}=y,inp_{i,y}=inp_{i,x},inp_{i,x}=0$ ；
2. 区间 $[L,l)\cup(r,R]$ 中有 $x$ ：见下文。
区间 $[l, r]$ 中有 $x$ ，且 $[L, R]$ 中有 $y$ ：
1. 区间 $[L,l)\cup(r,R]$ 中无 $x$ ：见下文。
2. 区间 $[L,l)\cup(r,R]$ 中有 $x$ ：见下文。

对于这三类情况，我们作以下处理：

若是 2.2 类，先取出一个未被使用的离散化值赋给 $inp_{i,y}$ ；
若是 3.1 类，将 $inp_{i,x}$ 丢入未被使用的离散化值中并赋 $0$ ；
恢复整块序列 $[L,R]$ ，将 $[l,r]$ 中的 $x$ 修改为 $y$ ，对应的 $b_k$ 修改为 $inp_{i,y}$ ，并把这些被修改的位置取出，记作 $st_{1,\dots,top}$ 。
若是 2.2 类，将所有 $ins_{i,k,inp_{i,y}}$ 初始为极大值。
双指针记录 $i$ 与最大的 $j$ 满足 $st_j\le i$ ，令 $ins_{i,b_i,inp_{i,y}}=\min(ins_{i,b_i,inp_{i,y}},st_{j+1}-i,i-st_{j})$ ，注意边界；
若是 2.2 或 3.2 类，按照与 4 和 5 同样的方式双指针更新 $x$ 的答案；
更新 $fir_{i,x},fir_{i,y},sec_{i,x},sec_{i,y}$ 。

最棘手的散块修改就做完了，整块修改按照第四分块的方式即可，注意在重构时要将消失的 $x$ 的离散化值丢进未被使用的离散化值中，并还原这块的 $a_i,b_i$ 并修改。

由于每次只有 $O(1)$ 个散块修改，总共给 $O(n)$ 个块分别添加了 $O(1)$ 的势能，所以该算法复杂度正确，时空均为 $O(n\sqrt n)$ 。

这题的修改、询问仍是平凡的，仍可离线逐块处理，做到空间 $O(n)$ ，时间常数也相应地减少了。~~但已经够难写了再写个这个就要吐了。~~

从第四分块改到这题，我的代码长度翻了一倍。

由于在第四分块的卡常，即使散块修改常数极大，我的代码运行速度仍不慢，跑到了最优解。最慢点甚至仍在 500ms 内。

以下代码仅供参考：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define ll long long
namespace IO{//by cyffff

}
const int N=1e5+300,sq=255,nq=N/sq+10;
int n,q,blk,last,a[N],b[N],bl[nq],br[nq],bel[N],tp[nq],op[nq];
int fir[N],sec[N],ind[N];
short inp[N][nq],ins[N][sq+10],stk[nq][sq+10];
inline int site(int x,int y){
    if(x>y) swap(x,y);
    return x*sq+y;
}
inline void init(int l,int r){
    int d=bel[l],p=l-1;
    vector<int>vec;
    for(int i=l;i<=r;i++)
        vec.push_back(a[i]);
    sort(vec.begin(),vec.end());
    vec.resize(unique(vec.begin(),vec.end())-vec.begin());
    tp[d]=vec.size();
    for(int i=sq;i>tp[d];i--)
        stk[d][++op[d]]=i;
    for(int i=l;i<=r;i++)
        b[i]=lower_bound(vec.begin(),vec.end(),a[i])-vec.begin()+1,
        ind[p+b[i]]=a[i],inp[a[i]][d]=b[i];
    for(int i=l;i<=r;i++)
        sec[p+b[i]]=i;
    for(int i=r;i>=l;i--)
        fir[p+b[i]]=i;
    for(int i=1;i<=r-l+1;i++)
        for(int j=i+1;j<=r-l+1;j++)
            ins[p+i][j]=32767;
    for(int i=l;i<=r;i++)
        for(int j=i+1;j<=r;j++){
            int A=min(b[i],b[j]),B=max(b[i],b[j]);
            ins[p+A][B]=min(ins[p+A][B],(short)(j-i));
        }
}
inline void rebuild(int l,int r,int x,int y){
    int d=bel[l],p=l-1;
    int inpx=inp[x][d],inpy=inp[y][d];
    fir[p+inpy]=min(fir[p+inpy],fir[p+inpx]),sec[p+inpy]=max(sec[p+inpy],sec[p+inpx]);
    fir[p+inpx]=sec[p+inpx]=0,inp[x][d]=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
        a[i]=ind[p+b[i]];
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(a[i]==x) a[i]=y,b[i]=inpy;
    stk[d][++op[d]]=inpx;
    if(inpx>inpy){
        for(int i=1;i<=inpy;i++)
            ins[p+i][inpy]=min(ins[p+i][inpy],ins[p+i][inpx]),ins[p+i][inpx]=32767;
        for(int i=inpy+1;i<=inpx;i++)
            ins[p+inpy][i]=min(ins[p+inpy][i],ins[p+i][inpx]),ins[p+i][inpx]=32767;
        for(int i=inpx+1;i<=sq;i++)
            ins[p+inpy][i]=min(ins[p+inpy][i],ins[p+inpx][i]),ins[p+inpx][i]=32767;
    }else{
        for(int i=1;i<=inpx;i++)
            ins[p+i][inpy]=min(ins[p+i][inpy],ins[p+i][inpx]),ins[p+i][inpx]=32767;
        for(int i=inpx+1;i<=inpy;i++)
            ins[p+i][inpy]=min(ins[p+i][inpy],ins[p+inpx][i]),ins[p+inpx][i]=32767;
        for(int i=inpy;i<=sq;i++)
            ins[p+inpy][i]=min(ins[p+inpy][i],ins[p+inpx][i]),ins[p+inpx][i]=32767;
    }
}
int st[sq+10],top;
inline void solve1(int L,int R,int l,int r,int x,int y,int fl){
    int d=bel[L],p=L-1;
    int inpx=inp[x][d],inpy;
    if(!fl){
        inpy=stk[d][op[d]--],inp[y][d]=inpy,ind[p+inpy]=y;
    }
    else inpy=inp[y][d];
    if(fl==2){
        inp[x][d]=0,ind[p+inpx]=0;
        fir[p+inpx]=sec[p+inpx]=0;
        stk[d][++op[d]]=inpx;
    }
    top=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(a[i]==x) a[i]=y,b[i]=inpy,st[++top]=i;
    st[++top]=1e9;
    if(!fl){
        for(int i=L;i<=R;i++){
            int A=b[i],B=inpy;
            if(A>B) swap(A,B);
            ins[p+A][B]=32767;
        }
    }
    for(int i=L,j=1;i<=R;i++){
        while(st[j]<=i) j++;
        j--;
        int A=b[i],B=inpy;
        if(A>B) swap(A,B);
        if(j!=top-1){
            if(j==0) ins[p+A][B]=min(ins[p+A][B],(short)(st[j+1]-i));
            else ins[p+A][B]=min({ins[p+A][B],(short)(i-st[j]),(short)(st[j+1]-i)});
        }else{
            ins[p+A][B]=min(ins[p+A][B],(short)(i-st[j]));
        }
    }
    if(fl!=2){
        top=0;
        for(int i=L;i<=R;i++)
            if(a[i]==x) st[++top]=i;
        st[++top]=1e9;
        for(int i=L;i<=R;i++){
            int A=b[i],B=inpx;
            if(A>B) swap(A,B);
            ins[p+A][B]=32767;
        }
        for(int i=L,j=1;i<=R;i++){
            while(st[j]<=i) j++;
            j--;
            int A=b[i],B=inpx;
            if(A>B) swap(A,B);
            if(j!=top-1){
                if(j==0) ins[p+A][B]=min(ins[p+A][B],(short)(st[j+1]-i));
                else ins[p+A][B]=min({ins[p+A][B],(short)(i-st[j]),(short)(st[j+1]-i)});
            }else{
                ins[p+A][B]=min(ins[p+A][B],(short)(i-st[j]));
            }
        }
    }
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i]==x) sec[p+inpx]=i;
    for(int i=R;i>=L;i--)
        if(a[i]==x) fir[p+inpx]=i;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        if(a[i]==y) sec[p+inpy]=i;
    for(int i=R;i>=L;i--)
        if(a[i]==y) fir[p+inpy]=i;
}
inline void solve2(int l,int r,int x,int y){
    int bL=bel[l];
    int p=bl[bL]-1,L=bl[bL],R=br[bL],inpx=inp[x][bL],inpy=inp[y][bL];
    if(!inpx) return ;
    for(int i=L;i<=R;i++)
        a[i]=ind[p+b[i]];
    bool fl=0;
    for(int i=l;i<=r;i++)
        if(a[i]==x) fl=1;
    if(!fl) return ;
    fl=0;
    for(int i=L;i<l;i++)
        if(a[i]==x) fl=1;
    for(int i=r+1;i<=R;i++)
        if(a[i]==x) fl=1;
    if(!inpy){
        if(fl) solve1(L,R,l,r,x,y,0);
        else ind[p+inpx]=y,inp[x][bL]=0,inp[y][bL]=inpx;
    }else{
        if(fl) solve1(L,R,l,r,x,y,1);
        else solve1(L,R,l,r,x,y,2);
    }
}
int main(){
    n=read(),q=read();
    for(int i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    for(int i=1;i<=n;i+=sq){
        blk++;
        bl[blk]=i,br[blk]=min(i+sq-1,n);
        for(int j=bl[blk];j<=br[blk];j++)
            bel[j]=blk;
        init(bl[blk],br[blk]);
    }
    while(q--){
        int opt=read(),l=read(),r=read(),x=read(),y=read();
        if(opt==2){
            int ans=n+1,bL=bel[l],bR=bel[r],lasx=-1e9,lasy=-1e9;
            if(x==y){
                if(bL==bR){
                    int p=bl[bL]-1;
                    for(int i=l;i<=r;i++)
                    if((a[i]=ind[p+b[i]])==x) ans=0;
                }else{
                    int p=bl[bL]-1;
                    for(int i=l;i<=br[bL];i++)
                    if((a[i]=ind[p+b[i]])==x) ans=0;
                    p=bl[bR]-1;
                    for(int i=bl[bR];i<=r;i++)
                    if((a[i]=ind[p+b[i]])==x) ans=0;
                }
                for(int i=bL+1;i<=bR-1;i++)
                    if(inp[x][i]) ans=0;
                if(ans==n+1) puts("-1");
                else printf("%d\n",ans);
                continue;
            }
            if(bL==bR){
                int p=bl[bL]-1;
                for(int i=l;i<=r;i++)
                    a[i]=ind[p+b[i]];
                for(int i=l;i<=r;i++){
                    if(a[i]==x) ans=min(ans,i-lasy),lasx=i;
                    if(a[i]==y) ans=min(ans,i-lasx),lasy=i;
                }
            }else{
                int p=bl[bL]-1;
                for(int i=l;i<=br[bL];i++)
                    a[i]=ind[p+b[i]];
                for(int i=l;i<=br[bL];i++){
                    if(a[i]==x) ans=min(ans,i-lasy),lasx=i;
                    if(a[i]==y) ans=min(ans,i-lasx),lasy=i;
                }
                for(int i=bL+1;i<=bR-1;i++){
                    int inpx=0,inpy=0,p=bl[i]-1;
                    if(inpx=inp[x][i]) ans=min(ans,fir[p+inpx]-lasy);
                    if(inpy=inp[y][i]) ans=min(ans,fir[p+inpy]-lasx);
                    if(inpx&&inpy){
                        int q=ins[p+min(inpx,inpy)][max(inpx,inpy)];
                        if(q!=32767) ans=min(ans,q);
                    }
                    if(inpx) lasx=sec[p+inpx];
                    if(inpy) lasy=sec[p+inpy];
                }
                p=bl[bR]-1;
                for(int i=bl[bR];i<=r;i++)
                    a[i]=ind[p+b[i]];
                for(int i=bl[bR];i<=r;i++){
                    if(a[i]==x) ans=min(ans,i-lasy),lasx=i;
                    if(a[i]==y) ans=min(ans,i-lasx),lasy=i;
                }
            }
            if(ans==n+1) puts("-1");
            else printf("%d\n",ans);
        }else{
            if(x==y) continue;
            int bL=bel[l],bR=bel[r];
            if(bL==bR){
                solve2(l,r,x,y);
            }else{
                solve2(l,br[bL],x,y);
                solve2(bl[bR],r,x,y);
                for(int i=bL+1;i<=bR-1;i++){
                    int t=inp[x][i],p=bl[i]-1;
                    if(!t) continue;
                    if(!inp[y][i])
                        ind[p+t]=y,inp[x][i]=0,inp[y][i]=t;
                    else
                        rebuild(bl[i],br[i],x,y);
                }
            }
        }
    }
    flush();
}