题解 P10045【[CCPC 2023 北京市赛] 线段树】

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题意

给你一个长为 $n$ 的序列 $a$，保证 $a_i$ 是奇数。有两种操作共 $q$ 次：

1. 给定 $l,r,x$，$\forall i\in[l,r],a_i\gets a_i+x$，保证 $x$ 是偶数；
2. 给定 $l,r$，求 $\prod_{i=l}^ra_i$，对 $2^{20}$ 取模。

数据范围： $n,q\le 2\times 10^5$，时限 4s。

思路

题外话：在 qoj vp 的时候没给时限，卡了好久常数才敢交。vp 完后几天在模拟赛上遇见相似套路直接秒了。

因为保证了 $a_i$ 时刻为奇数，所以不妨设 $a_i=2b_i+1$。

所求即为 $\displaystyle\prod_{i=l}^r(2b_i+1)$，而答案对 $2^{20}$ 取模，所以展开后不取 $1$ 的项数最多为 $19$。

那么我们建立线段树，对于一个区间 $[l,r]$，我们维护 $f_i$ 表示 $\displaystyle\sum_{S,|S|=i}\prod_{j\in S}b_j$，显然只有 $f_{0\sim 19}$ 可能有值。合并暴力即可。

考虑修改，考虑 $\displaystyle\sum_{S,|S|=i}\prod_{j\in S}(b_j+x)$，枚举选 $b$ 的子集 $T$，$\displaystyle\sum_{T}\binom{r-l+1-|T|}{|S|-|T|}x^{|S|-|T|}\prod_{j\in T}b_j$，即 $\displaystyle f'_i=\sum_{j=0}^if_jx^{i-j}\binom{r-l+1-j}{i-j}$，可以依此更新。

令 $t=20$，则时间复杂度 $O(nt^2\log n)$。

看起来很大，但其实合并和更新时带了 $1/2$ 的常数，再加个标记永久化，用 unsigned 代替取模，实际只用了 2.5s。