随笔分类 -  学习笔记

详细揭秘：区间 DP 小计
摘要：状态设计 例：沉玉谷 \(n\) 个有色小球排成一行，第 \(i\) 个小球颜色为 \(c_i\)，每次可以拿走连续一段颜色相同的小球，问有多少种方式取完所有小球。 \(n\le 50\)。 考虑如何求一个区间的答案：枚举与 \(l\) 一同删去的最右的小球。不相交区间之间没有影响，所以还要多一维表 阅读全文
posted @ 2024-08-17 16:12 ffffyc 阅读(66) 评论(0) 推荐(0)
详细揭秘：特殊图高斯消元
摘要：树上高斯消元 给你一颗树，某些点为终止结点，求从每个点开始随机游走走到某个终止节点的期望时间。 从叶子开始将 \(f(u)\) 表示为 \(k(u)f(\text{fa}(u))+b(u)\)，带回 \(f(\text{fa}(u))\) 的方程中将 \(f(u)\) 消掉即可。 DAG 上高斯消元 阅读全文
posted @ 2024-08-13 17:41 ffffyc 阅读(105) 评论(0) 推荐(0)
详细揭秘：集合划分容斥的容斥系数
摘要：dp 转移时，我们有时会要求枚举一个极大的合法子集进行转移，但是往往不能很好地处理极大的限制，只能枚举一个不作限制的合法子集。我们希望通过容斥使得每个极大的子集的转移正确。 引用一份看到的形式化描述：在某种等价关系下，对于某一组合结构，构成其的元素其可以被划分成若干等价类，有一关于等价类的系数 \( 阅读全文
posted @ 2024-08-13 17:41 ffffyc 阅读(323) 评论(0) 推荐(2)
拉格朗日反演学习笔记
摘要：拉格朗日反演 复合逆 若对于两个多项式 $F,G$ 有 $G(F(x))=x$，则称 $F,G$ 互为复合逆。 定理证明 若对多项式 $F$ 有 $G(F(x))=x$，将 $G(F(x))$ 表为$$\sum_{i\ge1}b_iF^i(x)=x$$ 两边求导，注意左边 $F^i$ 是函数 $F( 阅读全文
posted @ 2021-07-28 11:25 ffffyc 阅读(74) 评论(0) 推荐(0)
莫比乌斯反演学习笔记 II
摘要：$\text{Prod}$ 如无特殊说明，$n\le m$。 狄利克雷卷积 $(f*g)=\displaystyle\sum_{d|n}f(d)g(\frac n d)$ $f*\epsilon=f$ $\mu*I=\epsilon$ $\varphi*I=id$ $\mu*id=\varphi$ 阅读全文
posted @ 2021-07-12 21:13 ffffyc 阅读(21) 评论(0) 推荐(0)
莫比乌斯反演学习笔记
摘要：以前都是抄的，现在重新学。很菜勿喷。 积性函数 $f(ab)=f(a)f(b),\gcd(a,b)=1$ $\varphi,\mu,\sigma,d$ 完全积性函数 $f(ab)=f(a)f(b)$ $I(x)=1,id(x)=x,\epsilon(x)=[x=1]$ 设有两个函数 $f$ 和 $g 阅读全文
posted @ 2021-07-07 20:02 ffffyc 阅读(31) 评论(0) 推荐(0)