Aftermath4.0

多元函数极限

证明极限存在/计算极限：

• 换元成一元函数
• 放缩证明绝对值极限为 \(0\)
• 等价无穷小代换
• 微分中值定理

二元均值不等式链（用于放缩）：

\[0<a<\frac{2}{\frac 1a+\frac 1b}<\sqrt{ab}<\frac{b-a}{\ln b-\ln a}<\frac{a+b}2<\sqrt{\frac{a^2+b^2}2}<b \]

\(n\) 元均值不等式链：

\[\frac{n}{\sum\frac 1{a_i}}\le\sqrt[n]{\prod a_i}\le\frac{\sum a_i}n\le\sqrt{\frac{\sum a_i^2}n} \]

柯西不等式：

\[(\sum a_ib_i)^2\le(\sum a_i^2)(\sum b_i^2) \]

证明极限不存在：

• 取两条路径，极限不同
• 取一条路径，极限不存在

多元函数连续性

最值定理：有界闭集上的连续函数必有 \(\max\) 和 \(\min\)。

介值定理：设 \(\Omega\) 为连通域，\(f\) 是 \(\Omega\) 上的连续函数，\(X_1,X_2\in \Omega,f(X_1)=y_1,f(X_2)=y_2\)，则：\(\forall y\in[y_1,y_2],\exist X\in \Omega:f(X)=y\)。

多元函数全微分

偏导数全部连续 \(\Rightarrow\) 可微 \(\Rightarrow\) 偏导数全部存在。

判断可微/计算微分：\(\triangle f-\sum \frac{\partial f}{\partial x_i}(X_0)\triangle x_i=o(||X-X_0||)\)。

方向导数计算式（可微才能用）：\(\frac{\partial f}{\partial I}(X_0)=\sum\frac{\partial f}{\partial x_i}\cos \alpha_i\)，其中 \(I_0=(\cos \alpha_1,\cos\alpha_2,\cdots,\cos\alpha_n)\)。

梯度计算式（还是可微才能用）：\(\text{grad} f(X_0)=(\frac{\partial f}{\partial x_1},\frac{\partial f}{\partial x_2},\cdots,\frac{\partial f}{\partial x_n})_{X_0}\)，是向量，方向同最大导数（变化最快的方向）。

当 \(I_0\) 是单位向量时，\(G(X_0)\cdot I_0=\frac{\partial f}{\partial I}(X_0)=||G(X_0)||\cos<G(X_0),I_0>\)。

两个二阶混合偏导一起连续则相等。

向量值函数

Jacobi 矩阵：\(J_{i,j}=\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\)。

链式法则：枚举二级变量，把一级对二级偏导乘二级对三级偏导，全部加起来，就是一级变量对三级变量求偏导。

多元函数-隐函数

\(P_0=(X_0,y)\)。

若 \(F(x_1,x_2,\cdots,x_n,y)\) 满足：

• 在 \(B(P_0,r)\) 内 \(C^{(1)}\)。
• \(F(P_0)=0\)。
• \(\frac{\partial F}{\partial y}(P_0)\ne 0\)。

则在 \(B'(P_0,r)\) 内可用 \(F(x,f(x))=0\) 确定一个隐函数 \(y=f(x)\)，且：

• \(f\in C^{(1)}\)。
• \(\forall i\in [1,n]\)，\(\frac{\partial y}{\partial x_i}(P_0)=-\frac{\frac{\partial F}{\partial x_i}(P_0)}{\frac{\partial F}{\partial y}(P_0)}\)。

隐函数存在定理不是必要条件。

向量值函数-隐函数

\(X,Y\) 分别是 \(n,m\) 维向量，\(P=(X,Y)\)。

若 \(m\) 个 \(n+m\) 元函数 \(F_i(P)\) 均满足：

• 在 \(B(P_0,r)\) 内 \(C^{(1)}\)。
• \(F_i(P_0)=0\)。
• \(\frac{\partial(F_1,\cdots F_m)}{\partial(y_1,\cdots y_m)}|_{P_0}\) 可逆。

则在 \(B'(P_0,r)\) 内可用 \(\forall F_i(X,Y)=0\) 确定一个隐函数 \(Y=f(X)\)，且：

• \(Y=f(X)\) 连续可微。
• \(\frac{\partial(y_1,\cdots y_m)}{\partial(x_1,\cdots x_n)}=-[\frac{\partial(F_1,\cdots F_m)}{\partial(y_1,\cdots y_m)}]^{-1}\frac{\partial(F_1,\cdots F_m)}{\partial(x_1,\cdots x_n)}\)。

注意负号。

逆向量值函数

\(X,Y\) 均为 \(n\) 维。

若 \(Y=f(X)\) 为 \(C^{(1)}\)，且 \(Jf(X_0)\) 可逆。则 \(\exist B(X_0,\delta),B(Y_0=f(X_0),\eta)\)，\(f\) 在这个范围内可逆，且：

• \(X=g(Y)\) 也是 \(C^{(1)}\)。
• \(Jg(Y)=[Jf(X)]^{-1}\)。

曲面

注意条件都是正则点：

直接表示/隐函数/参数表示。

\(z=f(x,y):\)

• 切平面：\(z=z_0+\frac{\partial f}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial f}{\partial y}(y-y_0)\)。
• 法向量：\((\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},-1)\)。

\(F(x,y,z)=0\)：

• 切平面：\(\frac{\partial F}{\partial x}(x-x_0)+\frac{\partial F}{\partial y}(y-y_0)+\frac{\partial F}{\partial z}(z-z_0)=0\)。
• 法向量：\((\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})\)。
• 正则点：\(F\) 是 \(C^{(1)}\)，且法向量不为 \(\vec 0\)。

\(x=x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v)\)：

• 切平面：\(x-x_0=\frac{\partial x}{\partial u}(u-u_0)+\frac{\partial x}{\partial v}(v-v_0)\)，\(y,z\) 同理。（三个式子联立起来）
• 法向量：\((\frac{D(y,z)}{D(u,v)},\frac{D(z,x)}{D(u,v)},\frac{D(x,y)}{D(u,v)})\)。
• 正则点：\(x,y,z\) 三个函数全部 \(C^{(1)}\)，并且 \(\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(u,v)}\) 满秩。

巧记结论：显函数和隐函数的话，先记住法向量是 \((\frac{\partial F}{\partial x},\frac{\partial F}{\partial y},\frac{\partial F}{\partial z})\)，然后根据 \(\forall (x-x_0,y-y_0,z-z_0)\) 跟法向量垂直，就可以推出切面的方程了。

至于参数表示法，呜呜。

曲线

注意条件是正则点，以及切向量/法平面/切线是可以互推的，互推法：切线就是 \(P=(x-x_0,y-y_0,z-z_0)\parallel\) 切向量，法平面就是 \(P\perp\) 切向量。

参数表示版：

• 切向量：\((x'(t_0),y'(t_0),z'(t_0))\)。
• 正则点：\(x,y,z\) 全部 \(C^{(1)}\)，切向量不为 \(\vec 0\)。

曲面交线版：

• 切向量：\((\frac{D(F,G)}{D(y,z)},\frac{D(F,G)}{D(z,x)},\frac{D(F,G)}{D(x,y)})\)。
• 正则点：\(F,G\) 全部 \(C^{(1)}\)，\(\frac{\partial(F,G)}{\partial(x,y,z)}\) 满秩。

连续可微都是邻域，满秩针对邻域中心点。

至于曲面交线版，设 \(P_0=(x_0,y_0,z_0)\)，\(F(P_0)\) 是该点在曲面 \(F\) 的法向量，那么切向量 \(\vec n⊥F(P_0)\)，同理 \(\vec n⊥G(P_0)\)，所以 \(\vec n=F(P_0)\times G(P_0)\)，也就是上面那个轮换。

原则上，曲线跟曲面的相关公式都从 向量 入手。

Taylor 公式 & Taylor 多项式

这部分背公式，没了。

板子题无非就三种，多项式，peano 余项，lagrange 余项。

极值

无条件极值：找出所有驻点。正定极小，负定极大，不定肯定不是极值，半定没法下结论。

来复习一下线性代数吧。

正定矩阵的性质：

• 特征值全正。
• \(\text{tr}(A)=\sum \lambda_i>0,\det(A)=\prod \lambda_i>0\)。
• 如果是 \(n=2\) 的矩阵的话，就 \(f'_{xx}>0,f'_{yy}>0\)，两个加起来还是 \(>0\)。
• 一般情况下还能附带一个 \(f'_{xx}f'_{yy}-f'^2_{xy}>0\)。

以下三条等价：

• 实二次型 \(\vec x^TA\vec x\) 正定
• \(A\) 的顺序主子式全正
• \(A\) 的主子式全正

半正定只能用主子式全正来判断，不能用顺序主子式全正。

条件极值：\(L(x_1,x_2,\cdots,x_n,\lambda)\) 对这 \(n+1\) 维分别偏导等于 \(0\)。解方程可以先消掉 \(\lambda\)，尝试猜一个解之后因式分解。

求有界闭集上最值：内部的无条件极值，边界的条件极值，以及端点值。

隐函数求极值：方程两边对 \(x,y\) 分别求导得 (1)(2)，代入 \(f'_x=f'_y=0\)，再代回原方程，可以解出几个驻点。然后 (1) 对 \(x,y\) 再导，(2) 对 \(y\) 再导，就能得出驻点们的 Hesse 矩阵，从而判断是否为极值点。注意到隐函数的光滑性和方程是一样的，所以大多数情况 \(f'_{xy}=f'_{yx}\)。

一致连续

定义：若 \(\forall \varepsilon>0,\exist\delta>0\) 使得 \(\forall X_1,X_2\in\Omega,||X_1-X_2||<\delta\) 必有 \(|f(X_1)-f(X_2)|<\varepsilon\)，则 \(f\) 在 \(\Omega\) 上一致连续。

若 \(f(X)\) 在有界闭集 \(\Omega\) 上连续，则在 \(\Omega\) 上一致连续。

一致收敛

设 \(I(y)=\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx\)。

定义：\(\forall \varepsilon>0,\exist M>0:\forall A>M,|\int_A^{+\infty}f(x,y)\text dx|<\varepsilon\)。

Cauchy 判别法（充要条件，可判非一致收敛）：\(\forall \varepsilon>0,\exist A>0\) 满足：\(\forall A_2>A_1>A,\max\limits_{y\in[c,d]}|\int_{A_1}^{A_2}f(x,y)\text dx|<\varepsilon\)。

判非一致收敛的另一个方法：\(I(y)\) 在定义域上不连续。

比较判别法：

1. \(\forall y\in I\)：\(f(x,y)\) 关于 \(x\) 在 \([a,+\infty)\) 上连续
2. 存在 \(F(x)\in C[a,+\infty)\) 使得 \(\forall (x,y)\in D:|f(x,y)|\le F(x)\)，且 \(\int_a^{+\infty}F(x)\text dx\) 收敛。

则 \(\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx\) 一致收敛。

Dirichlet 判别法：

1. \(\exist M>0,A>a\) 使得 \(\forall y\in I,A_1>A\)：\(|\int_a^{A_1}f(x,y)|\le M\)
2. \(\forall y\in I\)：\(g(x,y)\) 关于 \(x\) 单调，且 \(\lim\limits_{x\to+\infty}g(x,y)=0\) 关于 \(y\) 一致成立。

则 \(\int_a^{+\infty}f(x,y)g(x,y)\text dx\) 一致收敛。

Abel 判别法：

1. \(\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx\) 关于 \(y\in I\) 一致收敛。
2. \(\forall y\in I\)：\(g(x,y)\) 关于 \(x\) 单调，且关于 \(y\in I\) 一致有界。

则 \(\int_a^{+\infty}f(x,y)g(x,y)\text dx\) 一致收敛。

矩形域上的符号交换法则

设 \(D=[a,b]\times [c,d]\)。

若 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，则：

• \(\lim\limits_{y\to y_0}\int_a^b f(x,y)\text dx=\int_a^b \lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)\text dx\)
• \(\int_c^d\Big[\int_a^bf(x,y)\text dx\Big]\text dy=\int_a^b\Big[\int_c^df(x,y)\text dy\Big]\text dx\)。

若 \(f(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，且 \(\alpha(y),\beta(y)\) 在 \(y\) 上可微，\(\alpha(y),\beta(y)\in[a,b]\)，则：

• \(\frac{\text d}{\text dy}\int_a^bf(x,y)\text dx=\int_a^b\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\text dx\)
• \(\frac{\text d}{\text dy}\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}f(x,y)\text dx=\int_{\alpha(y)}^{\beta(y)}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\text dx+f(\beta(y),y)\beta'(y)-f(\alpha(y),y)\alpha'(y)\)。

带状域上的符号交换法则

设 \(D=[a,+\infty)\times [c,d]\)。

若 \(f(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，且 \(\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx\) 一致收敛，则：

• \(\lim\limits_{y\to y_0}\int_a^{+\infty} f(x,y)\text dx=\int_a^{+\infty} \lim\limits_{y\to y_0}f(x,y)\text dx\)
• \(\int_c^d\Big[\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx\Big]\text dy=\int_a^{+\infty}\Big[\int_c^df(x,y)\text dy\Big]\text dx\)。

若 \(f(x,y),\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\) 在 \(D\) 上连续，且 \(\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx\) 全部收敛，\(\int_a^{+\infty}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\text dx\) 一致收敛，则：

• \(\frac{\text d}{\text dy}\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx=\int_a^{+\infty}\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\text dx\)

设 \(D_1=[a,+\infty)\times [c,+\infty)\)。

若：

1. \(f(x,y)\) 在 \(D_1\) 上连续
2. \(\forall C>c,A>a\) 满足 \(\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx\) 在 \([c,C]\) 一致收敛，\(\int_c^{+\infty}f(x,y)\text dy\) 在 \([a,A]\) 一致收敛。
3. \(\int_c^{+\infty}\text dy\int_a^{+\infty}|f(x,y)|\text dx\) 和 \(\int_a^{+\infty}\text dx\int_c^{+\infty}|f(x,y)|\text dy\) 其中一个存在。

则：\(\int_c^{+\infty}\text dy\int_a^{+\infty}f(x,y)\text dx=\int_a^{+\infty}\text dx\int_c^{+\infty}f(x,y)\text dy\)。

常用结论

\[\frac{\arctan x}{x}=\int_0^1\frac{1}{1+x^2y^2}\text dy \]

\[\int_0^{+\infty}\frac{\sin x}x\text dx=\frac{\pi}2 \]

\[\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\text dx=\frac{\sqrt\pi}2 \]

常用套路

• 泰勒展开式，记得乘 \(\frac 12\)。
• \(f(x_1,y_1)-f(x_2,y_2)=f(x_1,y_1)-f(x_1,y_2)+f(x_1,y_2)-f(x_2,y_2)\)，然后对两边分别偏导，分别一元微分中值定理。
• \(f(x,y)=f(0,0)+xf'_x(\theta x,\theta y)+yf'_y(\theta x,\theta y)\)，相当于直接对 \((x,y)\) 到原点连一条线段，线段上中值定理。
• 方向导数跟梯度的关联：\(G(X_0)\cdot I_0=\frac{\partial f}{\partial I}(X_0)=||G(X_0)||\cos<G(X_0),I_0>\)。
• 驻点的性质：任意方向导数为 \(0\)。
• 反证法。
• 有界闭集上必有最值，最值有 \(J=O\) 和 \(H\) 矩阵不能不定的性质。
• 极值问题考虑拿新变量替换或者拿条件消掉一个变量。
• 如果乘子法好用的话真的可以乘子法。
• 两曲面正交，即每个交点处的法向量都互相垂直。

例题

PDF T25

利用 方向导数跟梯度的关联，设 \(I_1=(a,b,c)\)，则 \(\frac{\partial f}{\partial I_1}=(f'_x,f'_y,f'_z)\cdot(a,b,c)\)，同理可得 \(I_2,I_3\) 的方向导数。

最后就是 \((\frac{\partial f}{\partial I_1},\frac{\partial f}{\partial I_2},\frac{\partial f}{\partial I_3})=(f'_x,f'_y,f'_z)(I_1,I_2,I_3)\)，两个向量正交变换，长度不变。

为什么正交变换保长度？\((A\vec x)^T(A\vec x)=\vec x^T\vec x=|\vec x|^2\)。

线代回到解放前。