线性代数预习笔记

线性方程组解的结构

设 \(A\) 为 \(m\times n\) 型实矩阵，则 \(r(A)=r(A^TA)=r(AA^T),N(A)=N(A^TA),C(A)=C(AA^T)\)。

证明 \(C(A)=C(AA^T)\)：只需证明若 \(\vec b\in C(A)\)，则 \(AA^T\vec y=\vec b\) 有解。
\(r(AA^T,\vec b)\ge r(AA^T),\vec b=A\vec x\Rightarrow r(AA^T,\vec b)=r(AA^T,A\vec x)\le r(A),r(AA^T)=r(A)\)。
所以 \(r(AA^T,\vec b)=r(AA^T)\)。

设 \(A\) 为 \(m\times n\) 型任意矩阵，则 \(N(A)\subseteq N(BA)\), 当 \(B\) 列满秩等号成立，\(C(AB)\subseteq C(A)\)，\(B\) 行满秩等号成立。

左乘列满秩不改变矩阵的秩，右乘行满秩不改变矩阵的秩。

向量的内积与度量

\((\vec \alpha,\vec \beta)^2\le(\vec \alpha,\vec \alpha)\cdot(\vec \beta,\vec \beta)\)。

正交基与正交矩阵

任意正交向量组线性无关。

\(\vec\alpha\) 在标准正交基 \(\vec\varepsilon_1,\vec\varepsilon_2,\cdots,\vec\varepsilon_n\) 下的坐标为：\(\forall j,x_j=(\alpha,\vec\varepsilon_j)\)。

还是 标准正交基，设 \(\vec\alpha=(\vec\varepsilon_1,\vec\varepsilon_2,\cdots,\vec\varepsilon_n)\vec X,\vec\beta=(\vec\varepsilon_1,\vec\varepsilon_2,\cdots,\vec\varepsilon_n)\vec Y\)，则 \((\vec\alpha,\vec\beta)=\vec X^T\vec Y\)。

正交矩阵的乘积还是正交矩阵。

施密特正交化要求输入的 \(s\) 个向量：\(s\le n\)，所有向量非零，且线性无关。

QR 分解：\(Q=(\vec\gamma_1,\vec\gamma_2,\cdots,\vec\gamma_n),R\) 是上三角：\(R_{i,i}=|\vec\beta_i|,R_{j,i}=\frac{(\vec\alpha_i,\vec\beta_j)}{|\vec\beta_j|}(j<i)\)。

列满秩都可以做 QR 分解，不一定要是正交矩阵。因为只要输入的 \(s\) 个向量线性无关即可。

欧式空间中的正交性

若 \(\vec\eta_1,\vec\eta_2,\cdots,\vec\eta_n\) 是子空间 \(W\) 的一组正交基，则计算 \(\vec\alpha\) 在 \(W\) 的投影，可以用 \(\sum_{i=1}^n\frac{(\vec\alpha,\vec\eta_i)}{(\vec\eta_i,\vec\eta_i)}\vec\eta_i\)。

若向量都是 \(n\) 维的，则 \(\dim W+\dim W^⊥=n\)。

求 \(\vec v\) 在 \(C(A^T),N(A)\) 中的正交分解，其中 \(A\) 是任意实矩阵。
解：\(A\vec v=A\vec v_r+A\vec v_n=A\vec v_r\)。所以令 \(A\vec v=\vec b,\vec x=\vec v_r\)，问题转化为求 \(A\vec x=\vec b,\vec x\in C(A^T)\) 的解。
因为 \(C(A)=C(AA^T)\)，所以 \(\vec b\in C(A)\Rightarrow\vec b\in C(AA^T)\)，那么 \(AA^T\vec y=\vec b\) 有解，把它解出来，再令 \(\vec x=A\vec y\) 即可。
证明 \(\vec x\) 的唯一性：设 \(A\vec \alpha=A\vec \beta=\vec b\)，且两个都在 \(C(A^T)\) 里面，那么 \(\vec\alpha-\vec\beta\) 是 \(N(A),C(A^T)\) 的相交部分，也就是 \(\vec 0\)。

最小二乘问题

也就是求 \(\vec b\) 在 \(C(A)\) 里的投影 \(\vec\beta\)。因为要求 \(\vec\beta\in C(A)\)，所以设 \(\vec\beta=A\vec x_0\)，由 \(\vec b-\vec \beta\) 和 \(C(A)\) 正交，可得 \(A^T(\vec b-\vec \beta)=\vec 0\)，所以 \(A^TA\vec x_0=A^T\vec b\)。
你说它为什么一定有解？\(r(A^TA,A^Tb)\le r(A^T)=r(A),r(A^TA,A^Tb)\ge r(A^TA)=r(A)\)。
复习一下 \(r(A^TA)=r(AA^T)=r(A)\)，就知道 \(r(A^TA,A^Tb)=r(A^TA)\) 了。

令 \(P=A(A^TA)^{-1}A^T\) 即正交投影矩阵，前提是 \(A^TA\) 可逆，也就是 \(A\) 得列满秩。

\(P^2=P,P^T=P\)，因为投影两次不变，以及 \(A^TA\) 是对称阵。

\(I=P+P_{W^\bot}\)。

若令 \(A=QR\)，则 \(P_{C(A)}=QQ^T\)。（注意 \(Q,R\) 都是可逆的。）

注意这里 \(QQ^T\) 不一定是 \(I\) !!

投影阵的定义：方阵 \(P\) 满足 \(P^2=P^T=P\)。若满足这个定义，则 \(N(P)=C(I-P),N(I-P)=C(P)\)。

特征值与特征向量

设 \(f_A(\lambda)=|\lambda I_n-A|\)，则 \(\sum_{i=1}^n\lambda_i=\text{tr}A,\prod_{i=1}^n\lambda_i=|A|\)。
证明：由行列式的 \(2^n\) 加和形式，\([\lambda^0]=(-1)^n|A|,[\lambda^{n-1}]=-\text{tr}(A)\)。
同时根据韦达定理，\([\lambda^0]=(-1)^n\prod_{i=1}^n\lambda_i,[\lambda^{n-1}]=-\sum_{i=1}^n\lambda_i\)。

设 \(\lambda_0\) 是 \(A\) 的特征值，且 \(\vec x_0\) 为对应的特征向量，则：

• \(g(\lambda_0)\) 是 \(g(A)\) 的特征值，\(\vec x_0\) 为对应的特征向量，其中 \(g\) 是任意多项式。
• 若 \(g(A)=0\)，则 \(g(\lambda_0)=0\)。
• \(f_A(A)=0\)。
• 若 \(A\) 可逆，则 \(\lambda_0^{-1}\) 是 \(A^{-1}\) 的特征值，\(\lambda_0^{-1}|A|\) 是 \(A^*\) 特征值，对应特征向量是 \(\vec x_0\)。

在 \(A\) 的每个特征值下随便抓一些特征向量，再全部混合起来，还是线性无关。前提是特征值要两种以上。

相似矩阵与对角化

设 \(A,B\) 是同阶方阵，\(P^{-1}AP=B\Rightarrow A\sim B\)。

若 \(A\sim B\) 则：

• \(g(A)\sim g(B),A^{-1}\sim B^{-1}\)。
• \(r(A)=r(B)\)。
• \(A,B\) 的特征多项式，特征值，\(\text{tr},\det\) 都相同。
• 但是有相同特征值的矩阵不一定相似，有相同特征多项式的矩阵也不一定相似。
• 设 \(A:\lambda_0,\vec x_0\)，则 \(B:\lambda_0,P^{-1}\vec x_0\)。

若 \(P^{-1}AP=\Lambda\)，则 \(A^k=P\Lambda^kP^{-1}\)，其中 \(\Lambda\) 是对角阵。

\(A\) 可对角化的充要条件：有 \(n\) 个线性无关的特征向量。

注意使用 \(\text{tr},\det\) 来判断特征向量的性质。

\(\forall m_i\le n_i\)。

任意矩阵 \(A\) 都可以：\(P^{-1}AP=T\)，其中 \(T\) 是上三角阵。

实对称阵的正交对角化

若 \(A\) 为实对称阵，则：

• \(A\) 的特征值都是实数。
• \(A:\lambda_1,\vec x_1\)，\(A:\lambda_2,\vec x_2(\lambda_1\ne \lambda_2)\) 则 \(\vec x_1\bot \vec x_2\)。
• 存在正交阵 \(Q\) 使得 \(Q^{-1}AQ=Q^TAQ\) 为对角阵。

求 \(Q\)：把每个特征值下的一组基分别标准正交化。

实对称阵的正定性

设 \(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n\) 为一组基，则 \(A_{i,j}=(\vec\alpha_i,\vec\alpha_j)\) 称作度量矩阵。

设 \(A\) 为实对称矩阵，若 \(\forall \vec x\ne \vec 0\)，有 \(\vec x^TA\vec x>0\)，则 \(A\) 为正定矩阵。

设 \(\vec\alpha_i,\vec\beta_i\) 为两组基，且 \((\vec\beta_1,\vec\beta_2,\cdots,\vec\beta_n)=(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n)P\)，则 \(B=P^TAP\)。

合同的定义：给定两个对称阵 \(A,B\)，如果存在可逆方阵 \(P\) 使得 \(B=P^TAP\)，则 \(B\) 与 \(A\) 合同。

给定实对称阵 \(A\)，令 \(\vec x=Q\vec y\)，其中 \(Q\) 是正交阵（在这里算一个可逆线性替换），且 \(Q^TAQ=\Lambda\) 是对角矩阵，则 \(\vec x^TA\vec x=\vec y^T\Lambda\vec y\)，那么这个二次型就可以写成 \(\sum \lambda_iy_i^2\) 的形式。

该对角阵 \(\Lambda\) 也称为 \(A\) 的相合标准形，下面给出两个求 \(\Lambda\) 的做法：

• 直接求特征值 \(\Lambda\)，直接求特征向量排成 \(Q\)。
• \(\begin{bmatrix} A \\ I \end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix} P^TAP\\ P\end{bmatrix}\)，每次对上面那块做一个初等列变换，下面跟着上面做一样的列变换，然后上面做一次一样的初等行变换。

标准形不唯一，规范形：\(\forall y_i^2\) 的系数在 \(-1,0,1\) 三个数当中取值，再 sort 一下变成 \(1,-1,0\) 的顺序。证明规范形唯一，只需要证明系数为正，为负，为 \(0\) 的个数都一样就行了。

任意实对称矩阵相合于 \(\text{diag}(I_p,I_{r-p},O)\)。\(A,B\) 相合即 \(p,r\) 都相同，秩与特征值的符号是相合的不变量。

相合变换不改变正定性（五种之一那个）。

特征值全正就是正定，全非负就是半正定，有正有负就是不定。

正定矩阵的性质：

• 特征值全正。
• 存在可逆矩阵 \(P\) 使得 \(A=P^TP\)。
• \(A\) 相合于 \(I\)。
• 一定可逆。

以下三条等价（主子式：选择一些行，再选择一些相同的列，顺序主子式 \([1,i]\times [1,i]\)）：

• 实二次型 \(\vec x^TA\vec x\) 正定
• \(A\) 的顺序主子式全正
• \(A\) 的主子式全正

半正定只能用主子式全正来判断，不能用顺序主子式全正。

设 \(A\) 为 \(m\times n\) 实矩阵：若 \(r(A)=n\)，则 \(A^TA\) 是正定矩阵，否则 \(A^TA\) 是半正定矩阵。

奇异值分解

设 \(A,B\) 分别为 \(m\times n,n\times m\) 的实矩阵，且 \(n>m\)，则 \(\lambda^{n-m}|\lambda I_m-AB|=|\lambda I_n-BA|\)。

若 \(A\) 可对角化，则非零特征值个数等于 \(r(A)\)。

\(A^TA\vec v=\sigma^2\vec v\)，则 \(\vec v\) 是 \(A\) 在奇异值 \(\sigma\) 下的右奇异向量，\(A\) 在左边是左奇异向量。

不计次序下 \(A\) 的 SV 唯一，但 SVD 不唯一。

求 SVD 分解的步骤：

• 把 \(A^TA\) 算出来。
• 求出 \(V^T\) 和 \(\Sigma_1^2\)，使得 \(V^T(A^TA)V=\begin{bmatrix}\Sigma_1^2 &0\\0&0\end{bmatrix}\)，注意 \(\Sigma_1\) 是特征值的根号，\(V\) 要变成正交矩阵。
• 令 \(V_1\) 为 \(V\) 的前 \(r(A)\) 列，\(U_1=AV_1\Sigma_1^{-1}\)。
• 把 \(U_1\) 扩充为 \(m\) 列的 SOB，最后 \(A=U\Sigma V^T\)，其中 \(\Sigma=\begin{bmatrix}\Sigma_1 &0\\0&0\end{bmatrix}\)。

由 \(U_1=AV_1\Sigma_1^{-1}\) 可得 \((\vec u_1,\cdots,\vec u_r)=A(\vec v_1,\cdots,\vec v_r)\Sigma_1^{-1}=(A\vec v_1,\cdots,A\vec v_r)\Sigma_1^{-1}=(\frac{1}{\sigma_1}A\vec v_1,\cdots,\frac{1}{\sigma_r}A\vec v_r)\)。也就是 \(\forall 1\le i\le r:\vec u_i=\frac{1}{\sigma_i}A\vec v_i,\vec v_i=\frac{1}{\sigma_i}A^T\vec u_i\)。

\(U\) 的前 \(r\) 列是 \(C(A)\) 的一组 SOB，后 \(m-r\) 列是 \(N(A^T)\) 的 SOB。

\(V\) 的前 \(r\) 列是 \(C(A^T)\) 的 SOB，后 \(n-r\) 列是 \(N(A)\) 的 SOB。

注意：如果 \(A\) 是扁的，先算 \(A^T\) 的 SVD 分解然后转置一下。

奇异值的不变性：

• \(kA\) 的奇异值是 \(A\) 的 \(|k|\) 倍。
• 左乘或右乘正交矩阵，奇异值不变。

\(A\) 的谱范数：\(||A||=\max\limits_{\vec x\ne 0}\frac{|A\vec x|}{|\vec x|}\)。

谱范数的性质：

• 左乘或右乘正交矩阵，谱范数不变。
• \(||kA||=|k|||A||\)。
• \(||AB||\le||A||\times||B||\)。
• \(||A+B||\le||A||+||B||\)。
• \(||A||\ge 0\)，\(||A||=0\) 当且仅当 \(A=O\)。
• \(||A||\) 为 \(A\) 最大的奇异值。

矩阵的广义逆

若 \(AGA=A,GAG=G,(AG)^T=AG,(GA)^T=GA\) 则 \(G=A^+\)。

广义逆具有以下性质：

• \(A\) 列满秩时，\(A^+=(A^TA)^{-1}A^T\)。
• \(A\) 行满秩时，\(A^+=(AA^T)^{-1}A\)。
• \(A=U\Sigma V^T,A^+=V\Sigma^+U^T\)，其中 \(\Sigma^+\) 是 \(\Sigma\) 在所有非 \(0\) 的位置取倒数。

投影矩阵的扩展：\(P_{C(A^T)}=A^+A,P_{C(A)}=AA^+,P_{N(A)}=I_n-A^+A,P_{N(A^T)}=I_m-AA^+\)。

设 \(m\) 个 \(n\) 维向量线性无关，令 \(A=(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_m)\)，则这些向量的体积为 \(\sqrt{|A^TA|}\)。

线性空间

线性空间的 \(11\) 条定义：

1. 非空
2. 对加法封闭
3. 对数乘封闭
4. 加法交换律
5. 加法结合律
6. 乘法分配律 1
7. 乘法分配律 2
8. 数乘结合律
9. 有负元素
10. 有单位元
11. 有零元

加法和数乘是可以随意定义的两种运算。

设 \(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n\) 和 \(\vec\beta_1,\vec\beta_2,\cdots,\vec\beta_n\) 是 \(n\) 维线性空间下的两组基，若 \((\vec\beta_1,\vec\beta_2,\cdots,\vec\beta_n)=(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n)C\)，则称 \(C\) 是 \(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n\) 到 \(\vec\beta_1,\vec\beta_2,\cdots,\vec\beta_n\) 的过渡矩阵。

设 \(\vec\gamma\) 在这两组基下的坐标分别为 \(\vec X,\vec Y\)，则 \(\vec\gamma=(\vec\beta_1,\vec\beta_2,\cdots,\vec\beta_n)\vec Y=(\vec\alpha_1,\vec\alpha_2,\cdots,\vec\alpha_n)C\vec Y\)。所以 \(\vec X=C\vec Y,\vec Y=C^{-1}\vec X\)。

若 \(V_1\rightarrow V_2\) 存在一个双射 \(\varphi\) 满足（\(V_1,V_2\) 是数域 \(F\) 上的两个线性空间）：

• \(\forall \vec a,\vec b\in V_1,\varphi(\vec a+\vec b)=\varphi(\vec a)+\varphi(\vec b)\)。
• \(\forall \vec a\in V_1,k\in F,\varphi(k\vec a)=k\varphi(\vec a)\)。

则称 \(\varphi\) 是线性空间的同构，\(V_1≌V_2\)。

同构运算保零元，保负元，保线性相关性，保线性组合，保维数。

同构映射的逆映射，复合映射都是同构映射。

\(V_1≌V_2\) 当且仅当 \(\dim V_1=\dim V_2\)。

设 \(\forall \vec a\in V_1,\varphi(\vec a)\) 为 \(\vec a\) 在 \(V_1\) 的一组基下的坐标，则 \(V_1≌F^n\)。

线性子空间

设 \(W\) 是线性空间 \(V\) 的非空子集，那么 \(W\) 是 \(V\) 的子空间的充要条件是 \(W\) 对 \(V\) 中定义的加法和数乘封闭。

注意子空间必须包含 \(\vec 0\)，但是它的基是空集。

设 \(\vec a_1,\cdots,\vec a_m\in V_1(F)\)，则 \(L=\sum_{i=1}^mk_i\vec a_i\) 为它们的生成子空间，注意 \(k_i\in F\)。

由 \(W\) 的任意一组基，可以扩充为 \(V\) 的一组基。

\(W_1\bigcap W_2=\{\vec a|\vec a\in W_1,\vec a\in W_2\}\)。

\(W_1+W_2=\{\vec a+\vec b|\vec a\in W_1,\vec b\in W_2\}\)。

\(\dim W_1+\dim W_2=\dim (W_1+W_2)+\dim(W_1\bigcap W_2)\)。

求 \(W_1+W_2\) 的一组基，只要合并 \(W_1,W_2\) 的基即可。

求 \(W_1\bigcap W_2\) 的一组基：设 \(\vec a_1,\cdots \vec a_s,\vec b_1,\cdots \vec b_t\) 分别为 \(W_1,W_2\) 的一组基，解方程：

\[(\vec a_1\cdots\vec a_s\ \vec b_1\cdots\vec b_t)\begin{bmatrix}k_1\\ \vdots\\ k_s\\-l_1\\\vdots\\-l_t\end{bmatrix}=\vec 0 \]

因为 \(\vec c\in W_1\bigcap W_2\) 就是 \(\vec c=\sum k_i\vec a_i=\sum l_i\vec b_i\)。并且 \(k,l\) 要么两个一起全 \(0\)，要么两个都不能全 \(0\)。

设这东西解空间的基分别为 \(\vec c_1,\cdots,\vec c_p\)，则 \(W_1\bigcap W_2\) 的一组基 \(\vec d_1,\cdots,\vec d_p\) 满足：\(\vec d_i=\sum_{j=1}^kc_{i,j}\)。

设 \(W_1,W_2\) 都是 \(V\) 的子空间，如果 \(W_1\bigcap W_2=\{\vec 0\}\)，则称 \(W_1+W_2=W_1\oplus W_2\) 为 \(W_1\) 与 \(W_2\) 的直和。

若 \(V=W_1+W_2\)，则下面四条等价：

• \(W_1\bigcap W_2=\{\vec 0\}\)。
• \(\vec 0\) 表示成 \(W_1,W_2\) 元素和的方案唯一。
• \(V\) 中任意元素表示成 \(W_1,W_2\) 元素和的方案唯一。
• \(\dim V=\dim W_1+\dim W_2\)。

设 \(\vec \alpha_1,\cdots,\vec \alpha_s\) 和 \(\vec \beta_1,\cdots,\vec\beta_t\) 分别为 \(W_1,W_2\) 的一组基，则 \(V=W_1\oplus W_2\Leftrightarrow\) \(\vec \alpha_1,\cdots,\vec \alpha_s,\vec \beta_1,\cdots,\vec\beta_t\) 为 \(V\) 的一组基。

若 \(W_1+W_2=V,W_1\bigcap W_2=\{\vec 0\}\) 则称 \(W_2\) 是 \(W_1\) 的补空间，补空间一般不唯一，但是正交补是唯一的。

线性映射及其对应矩阵

对于映射 \(\sigma:V_1\rightarrow V_2\)，若满足：

• \(\forall \vec a,\vec b\in V_1:\sigma(\vec a+\vec b)=\sigma(\vec a)+\sigma(\vec b)\)。
• \(\forall \vec a\in V_1,k\in F,\sigma(k\vec a)=k\sigma(\vec a)\)。

则称 \(\sigma\) 为线性映射，当 \(V_1=V_2\) 时为线性变换。

旋转变换：\((x,y)\) 逆时针转 \(\theta\) 弧度：\((x\cos\theta-y\sin\theta,x\sin\theta+y\cos\theta)\)。

若 \((\sigma(\vec a_1),\cdots,\sigma(\vec a_n))=(\vec b_1,\cdots,\vec b_m)A\)，则称 \(A\) 为 \(\sigma\) 在基 \(\vec a_1,\cdots,\vec a_n\) 和 \(\vec b_1,\cdots,\vec b_m\) 下的矩阵。

此时，设 \(\vec a,\sigma(\vec a)\) 在两组基下的坐标分别为 \(\vec x=(x_1,\cdots,x_n)^T,\vec y=(y_1,\cdots,y_m)^T\)，则 \(\vec y=A\vec x\)。

若 \((\sigma(\vec a_1),\cdots,\sigma(\vec a_n))=(\vec a_1,\cdots,\vec a_n)A\)，则称 \(A\) 为 \(\sigma\) 在基 \(\vec a_1,\cdots,\vec a_n\) 下的矩阵。

设 \(\vec a_i\) 和 \(\vec b_i\) 是 \(V_1,V_2\) 下两组大小均为 \(n\) 的基，可以定义 \(\sigma\) 使得 \(\forall i:\sigma(a_i)=b_i\)。对于任意 \(\vec\gamma\in V_1\)，求出 \(\vec\gamma\) 在旧基下的坐标，再把这个坐标在新基下求出一个 \(\vec c,\sigma(\vec \gamma)=\vec c\)。

线性映射之间可以加法和数乘，做完还是线性映射。

基变换下的线性映射

\(\text{Im}\ \sigma\) 是 \(\sigma\) 的值域，又名像空间。

设 \((\sigma(\vec\varepsilon_1),\cdots,\sigma(\vec\varepsilon_n))=(\vec\eta_1,\cdots,\vec\eta_m)A\)，则 \(\dim\text{Im}\ \sigma=r(A)\)。

\(\sigma\) 是满射，当且仅当 \(\dim\text{Im}\ \sigma=\dim V_2\)。

已知 \(\sigma\) 在一组基 \(\vec\alpha_i\) 下的矩阵 \(A\)，求 \(\text{Im}\ \sigma\) 的一组基：把 \(C(A)\) 中一组基拿出来，作为 \(\vec\alpha_i\) 们的系数。即 \(\dim \text{Im}\ \sigma=\dim C(A)\)。

\(\ker \sigma\) 是所有 \(\sigma(\vec a)=\vec 0\) 的集合。

\(\sigma\) 是单射，当且仅当 \(\dim \ker \sigma=0\)。

若 \(A\) 是在两组基下的矩阵，则：\(\dim \ker \sigma=\dim N(A)\)。

已知 \(\sigma\) 在一组基 \(\vec\alpha_i\) 下的矩阵 \(A\)，求 \(\ker \sigma\) 的一组基：把 \(N(A)\) 中一组基拿出来，作为 \(\vec\alpha_i\) 们的系数。

线性变换是单射 \(\Leftrightarrow\) 是满射 \(\Leftrightarrow\) 是双射。

\(\dim\ker\sigma+\dim\text{Im}\ \sigma=\dim V_1\)。

同一个线性映射在不同基下的矩阵具有相抵关系。

最后，线代期末 四则运算大战 day2 加油！

upt 2022/1/2：最后一题不会，四则运算大战 day2 AK 失败。