[洛谷P4609][FJOI2016]建筑师（第一类斯特林数）

Solution

• 首先，考虑最高的建筑\(n\)，它一定是从左边看到的最后一个，也是从右边看到的最后一个
• 剩下左边看到的\(A-1\)和右边看到的\(B-1\)个
• 考虑将剩下的\(n-1\)个建筑分成\(A+B-2\)个集合
• 从中选出\(A-1\)个集合，将这些集合中的建筑放在\(n\)的左边，剩下的放右边
• 这\(A-1\)个集合中，同一集合中的建筑在数轴上必为连续的一段
• 记每个集合中最高的建筑（就是从左边看到的建筑）分别为\(c_1,c_2,...,c_{A-1}\)，那么这\(A-1\)个建筑均位于每一段的最左边
• 又因为它们都是被看见的（即不能相互遮挡）
• 所以这\(A-1\)段按照\(c\)升序从左往右摆放
• 右边的\(B-1\)段同理
• 答案即\(S(n-1,A+B-2)*C(A+B-2,A-1)\)
• 其中\(S\)是第一类斯特林数，表示\(n-1\)个数分成\(A+B-2\)个圆排列（无序）的方案数（因为确定了每段的开头是最高的建筑，圆排列也可以看作固定了开头的排列）

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

template <class t>
inline void read(t & res)
{
	char ch;
	while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
	res = ch ^ 48;
	while (ch = getchar(), isdigit(ch))
	res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

const int mod = 1e9 + 7, e = 50005, o = 105;
int s[e][o * 2], a, b, n, c[o * 2][o * 2], tst;

int main()
{
	int i, j, k;
	s[0][0] = c[0][0] = s[1][1] = 1; 
	for (i = 2; i <= 50000; i++)
	for (j = 1, k = min(i, 200); j <= k; j++)
	s[i][j] = (s[i - 1][j - 1] + (ll)s[i - 1][j] * (i - 1)) % mod;
	for (i = 1; i <= 200; i++)
	for (j = 0; j <= i; j++)
	if (j == 0) c[i][j] = 1;
	else c[i][j] = (c[i - 1][j] + c[i - 1][j - 1]) % mod;
	read(tst);
	while (tst--)
	{
		read(n);
		read(a);
		read(b);
		int ans = (ll)s[n - 1][a + b - 2] * c[a + b - 2][a - 1] % mod;
		printf("%d\n", ans);
	}
	return 0;
}