[BZOJ4025]二分图（线段树分治+并查集）

Solution

• 以时间 \([0..T]\) 为下标建一棵线段树
• 线段树上的每个区间维护一个边集
• 对于一条边 \(i\)，它存在的时间区间为： \([start_i,end_i-1]\)
• 把 \([start_i,end_i-1]\) 区间拆成线段树上的 \(O(\log T)\) 个区间
• 并且把边 \(i\) 丢进这些区间的边集
• 然后把整棵线段树 \(dfs\) 一遍
• \(dfs\) 到区间 \([l,r]\) 时，并查集维护的就是 \([l,r]\) 这段时间都存在的边，所组成的二分图
• 如果把二分图黑白染色，那么要保证同一个连通块中，同色的点处于同一并查集
• 由于距离最近的两个同色点通过异色点间接相连
• 把每个点 \(x\) 拆成 \(x\) 和 \(x+n\)
• 合并 \(x,y\) 即合并 \((x,y+n)\),\((y,x+n)\)
• 如果合并 \(x,y\) 时发现 \(x,y\) 已经处于同一连通块，那么它就不是二分图
• 具体地，记过程 \(dfs(l,r,p,opt)\) 表示 \(dfs\) 到区间 \([l,r]\)，此区间编号为 \(p\)，\(opt\)表示在加入 \(p\) 的边集之前，是不是二分图
• 初始时 \(opt=1\)
• \(dfs\) 到 \([l,r]\) 时，把 \(p\) 的边集加到并查集里去，加边过程中如果发现不是二分图了，就把 \(opt=0\)
• 然后 \(dfs(l,mid,lson[p],opt),dfs(mid + 1,r,rson[p],opt)\)
• \(dfs\) 到叶子的时候，就可以根据 \(opt\)，得到时刻 \(l\) 的答案了
• 回溯时要清掉 \(p\) 的边集
• 所以要用可持久化并查集，即不能路径压缩
• 为了保证时间复杂度采用启发式合并，即每次把 \(sze\)（或\(dep\)） 小的合并到大的

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define p2 p << 1
#define p3 p << 1 | 1

template <class t>
inline void read(t & res)
{
	char ch;
	while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
	res = ch ^ 48;
	while (ch = getchar(), isdigit(ch))
	res = res * 10 + (ch ^ 48); 
}

const int e = 2e6 + 5;
struct point
{
	int x, y;
}a[e];
vector<int>g[e];
int stk[e], top, n, m, q, f[e], sze[e];
bool ans[e], pd;

inline int find(int x)
{
	return !f[x] ? x : find(f[x]);
}

inline void merge(int x, int y)
{
	stk[++top] = 0;
	x = find(x);
	y = find(y);
	if (x == y) return;
	if (sze[x] > sze[y]) swap(x, y);
	sze[y] += sze[x];
	f[x] = y;
	stk[top] = x;
}

inline void del()
{
	int x = stk[top--];
	if (!x) return;
	sze[f[x]] -= sze[x];
	f[x] = 0; 
}

inline void modify(int l, int r, int s, int t, int v, int p)
{
	if (l == s && r == t)
	{
		g[p].push_back(v);
		return;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	if (t <= mid) modify(l, mid, s, t, v, p2);
	else if (s > mid) modify(mid + 1, r, s, t, v, p3);
	else
	{
		modify(l, mid, s, mid, v, p2);
		modify(mid + 1, r, mid + 1, t, v, p3);
	}
}

inline void dfs(int l, int r, int p, int opt)
{
	int i, len = g[p].size();
	for (i = 0; i < len; i++)
	{
		int j = g[p][i];
		int x = a[j].x, y = a[j].y;
		if (find(x) == find(y)) opt = 0;
		merge(x, y + n);
		merge(x + n, y);
	}
	if (l == r)
	{
		ans[l] = opt;
		for (i = 0; i < len; i++) 
		{
			del();
			del();
		}
		return;
	}
	int mid = l + r >> 1;
	dfs(mid + 1, r, p3, opt);
	dfs(l, mid, p2, opt);
	for (i = 0; i < len; i++) 
	{
		del();
		del();
	}
}

int main()
{
	read(n); read(m); read(q);
	int i, l, r;
	for (i = 1; i <= 2 * n; i++) sze[i] = 1;
	for (i = 1; i <= m; i++)
	{
		read(a[i].x);
		read(a[i].y);
		read(l);
		read(r);
		r--;
		if (l <= r) modify(0, q, l, r, i, 1);
	}
	dfs(0, q, 1, 1);
	for (i = 0; i < q; i++) puts(ans[i] ? "Yes" : "No");
	return 0;
}