[SNOI2019]通信（网络流+分治优化建图）

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Luogu P5331

Solution

• 费用流 \(+\) 分治优化建图。
• 先考虑朴素建图（类似最小路径覆盖）：
• 建立源点 \(s\)、汇点 \(t\)。
• 对于每个哨站 \(i\) 建立点 \(i_1\) 和 \(i_2\)，连边 \((s,i_1,1,0)，(i_2,t,1,0)，(i_1,t,1,w)\)。
• 对于每两个哨站 \(i,j（j<i）\)，连边 \((i_1,j_2,1,|a[i]-a[j]|)\)。
• 然后 \(s→t\) 的最小费用最大流就是答案。
• 但是这样建图边数是 \(O(n^2)\) 的，需要优化。
• 考虑分治建图：对于区间 \([l,r]\)，我们考虑建立 \(x_1→y_2（x∈[l,mid],y∈[mid+1,r]）\)的路径使得与原图等价。
• 我们新建 \(r-l+1\) 个点，第 \(i\) 个点的权值为 \(a[l+i-1]\)。
• 把这 \(r-l+1\) 个点按权值升序排序，离散化。
• 对于排序后的任意相邻两点 \(u,v\)，连边 \((u,v,∞,v的权值-u的权值)\)。
• 然后对于每个 \(x_1（x∈[l,mid]）\)，在新建的点当中找到权值与 \(a[x]\) 相等的点 \(u\)，连边 \((x_1,u,1,0)\)。
• 同理，对于每个 \(y_2（y∈[mid+1,r]）\)，在新建的点当中找到权值与 \(a[y]\) 相等的点 \(v\)，连边 \((v,y_2,1,0)\)。
• 显然这样连边使得 \(x_1→y_2\) 路径上的费用之和还是 \(|a[x]-a[y]|\)。
• 接着我们分别递归区间 \([l,mid],[mid+1,r]\)，重复上述步骤。
• 这样我们就建立了一张和原图等价的新图，但是边数优化为 \(O(n \log n)\)。

Code

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define ll long long

template <class t>
inline void read(t & res)
{
   char ch;
   while (ch = getchar(), !isdigit(ch));
   res = ch ^ 48;
   while (ch = getchar(), isdigit(ch))
   res = res * 10 + (ch ^ 48);
}

const int e = 1e6 + 5, inf1 = 0x3f3f3f3f;
const ll inf2 = 0x3f3f3f3f3f3f3f3fll;
int a[e], adj[e], nxt[e], go[e], num = 1, c[e], f[e], w, s, t, pool, b[e], tot, n;
bool vis[e], walk[e];
ll co[e], dist[e], ans;

inline void add(int x, int y, int v, int w)
{
   nxt[++num] = adj[x];
   adj[x] = num;
   go[num] = y;
   c[num] = v;
   co[num] = w;
   nxt[++num] = adj[y];
   adj[y] = num;
   go[num] = x;
   co[num] = -w;
}

inline bool bfs()
{
   deque<int>q;
   int i;
   for (i = 1; i <= t; i++) walk[i] = 0, dist[i] = inf2;
   q.push_front(s);
   dist[s] = 0;
   while (!q.empty())
   {
   	int u = q.front();
   	q.pop_front();
   	vis[u] = 0;
   	for (i = adj[u]; i; i = nxt[i])
   	{
   		int v = go[i];
   		if (dist[v] > dist[u] + co[i] && c[i] > f[i])
   		{
   			dist[v] = dist[u] + co[i];
   			if (!vis[v])
   			{
   				vis[v] = 1;
   				if (q.empty() || dist[v] < dist[q.front()]) q.push_front(v);
   				else q.push_back(v);
   			}
   		}
   	}
   }
   return dist[t] < inf2;
}

inline int dfs(int u, int a)
{
   if (u == t || a == 0)
   {
   	ans += dist[t] * a;
   	return a;
   }
   int i, flow = 0, f1;
   walk[u] = 1;
   for (i = adj[u]; i; i = nxt[i])
   {
   	int v = go[i];
   	if (dist[v] == dist[u] + co[i] && c[i] > f[i] && !walk[v])
   	{
   		f1 = dfs(v, min(c[i] - f[i], a));
   		if (f1)
   		{
   			f[i] += f1;
   			f[i ^ 1] -= f1;
   			flow += f1;
   			a -= f1;
   			if (a == 0) break;
   		}
   	}
   }
   return flow;
}

inline void init(int l, int r)
{
   if (l == r) return;
   int i, mid = l + r >> 1;
   tot = 0;
   for (i = l; i <= r; i++) b[++tot] = a[i];
   sort(b + 1, b + tot + 1);
   tot = unique(b + 1, b + tot + 1) - b - 1;
   for (i = 1; i < tot; i++)
   {
   	add(pool + i, pool + i + 1, inf1, b[i + 1] - b[i]);
   	add(pool + i + 1, pool + i, inf1, b[i + 1] - b[i]);
   }
   for (i = mid + 1; i <= r; i++)
   {
   	int pos = lower_bound(b + 1, b + tot + 1, a[i]) - b;
   	add(i, pool + pos, 1, 0);
   }
   for (i = l; i <= mid; i++)
   {
   	int pos = lower_bound(b + 1, b + tot + 1, a[i]) - b;
   	add(pool + pos, i + n, 1, 0);
   }
   pool += tot; init(l, mid); init(mid + 1, r);
}

int main()
{
   int i;
   read(n); read(w);
   for (i = 1; i <= n; i++) read(a[i]);
   pool = 2 * n;
   init(1, n);
   s = pool + 1; t = s + 1;
   for (i = 1; i <= n; i++) add(s, i, 1, 0), add(i + n, t, 1, 0), add(i, t, 1, w);
   while (bfs()) dfs(s, inf1);
   cout << ans << endl;
   return 0;
}