《算法导论》笔记 第6章 6.5优先级队列
【笔记】
一个最大优先队列支持以下操作：
insert x：把元素x插入集合。
maximum：返回集合中具有最大关键字的元素。
extract-max：去掉并返回集合中具有最大关键字的元素。
increase-key x k：将元素x的关键字增加到k，这里k值不能小于x的原关键字的值。
Type heapMaximum() {
return A[1];
}
Type heapExtractMax() {
if (heapSize < 1) return 0;
int max = A[1];
A[1] = A[heapSize--];
maxHeapify(1);
return max;
}
void heapIncreaseKey(int i,Type key) {
if (key < A[i]) return;
A[i] = key;
while (i>1 && A[parent(i)] < A[i]) {
swap(A[i],A[parent(i)]);
i = parent(i);
}
}
void maxHeapInsert(Type key) {
heapSize++;
A[heapSize] = key;
heapIncreaseKey(heapSize,key);
}【练习】
6.5-1 描述对堆 A = <15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1> 执行 HEAP_EXTRACT_MAX 操作的过程。
记录返回值为15，将最后一个元素移动到根结点，堆变成 A = <1,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2>，
对根结点执行MAX_HEAPIFY，最终堆为 A = <13,12,9,5,6,8,7,4,0,1,2>
6.5-2 描述在堆 A = <15,13,9,5,12,8,7,4,0,6,2,1> 上执行 MAX_HEAP_INSERT(A,10) 操作的过程。
6.5-3 使用最小堆实现最小优先队列写出HEAP_MINIMUM，HEAP_EXTRACT_MIN，HEAP_DECREASE_KEY和MIN_HEAP_INSERT过程。
Type heapMinimum() {
return A[1];
}
Type heapExtractMin() {
if (heapSize < 1) return 0;
int min = A[1];
A[1] = A[heapSize--];
minHeapify(1);
return min;
}
void heapDecreaseKey(int i,Type key) {
if (key > A[i]) return;
A[i] = key;
while (i>1 && A[parent(i)] > A[i]) {
swap(A[i],A[parent(i)]);
i = parent(i);
}
}
void minHeapInsert(Type key) {
heapSize++;
A[heapSize] = key;
heapDecreaseKey(heapSize,key);
}6.5-4 为什么我们在 MAX_HEAP_INSERT 先将关键字的值设置为无穷小，而后又将此关键值增大到所要求的值呢？
不知道呀，直接设成所要求的值不行吗不行吗？> <
6.5-5 使用以下的循环不变式来论证 HEAP_INCREASE_KEY 的正确性：
在while循环的每次迭代之初，数组 A[1..heap-size[A]]满足最大堆性质，除了一个可能的例外：A[i]可能大于A[PARENT(i)]。
初始化：在第1轮迭代之前。设结点i当前的值为 A[i]，之前的值为 A'[i]，可知 A[i] >= A'[i]。
在结点i的值改变之前，数组A满足最大堆性质，因此A'[i] >= LEFT(i)，A'[i] >= RIGHT(i)。
因此A[i]>=LEFT(i)，A[i]>=RIGHT(i)。由于只有结点i的数值增大过，A[i]可能大于A[PARENT(i)]。
保持：若结点i大于父结点，则交换父结点与结点i，由最大堆的性质可知：A[PARENT(i)]>=A'[i]>=LEFT(i) and RIGHT(i)。
因此A[PARENT(i)] >= A[LEFT(i)] and A[RIGHT(i)]且 A[PARENT(i)] <= A[i]，A[i]>=A[PARENT(i)]>=A'[LEFT(PARENT(i))] and A'[RIGHT(PARENT(i))]。
交换PARENT(i)与i可使最大堆的性质得到保持，除了一个可能的例外：A[i]可能大于新的父结点A[PARENT(i)]。为下一次迭代重新建立了循环不变式。
终止：过程终止时，i为根结点或A[i]<=A[PARENT(i)]。此时数组满足最大堆性质，并且没有例外。
6.5-6 说明如何使用优先级队列来实现一个先进先出队列，另请说明如何用优先级队列来实现栈。
对插入的元素赋一个权值，优先队列通过比较权值来维护最大堆。
队列：第一个插入的元素拥有最大的权值，随后插入的元素权值依次递减。此时，元素先进先出。
栈：第一个插入的元素拥有最小的权值，随后插入的元素权值依次递增。此时，元素先进后出。
6.5-7 HEAP-DELETE(A,i) 操作将节点i中的项从堆A中删去。对含n个元素的最大堆，请给出时间为O(logn)的HEAP_DELETE的实现。
void heapDeleteMax(int i) {
if (i<1||i>heapSize) return;
A[i] = A[heapSize--];
maxHeapify(i);
}6.5-8 请给出一个时间为O(nlogk)、用来将k个已排序链表合并为一个排序链表的算法。此处n为所有输入链表中元素的总数。
1、将k个链表的第一个元素插入堆中。
2、取出堆中的最小元素，若该元素所在的链表不为空，将其下一个元素插入到堆中。重复这一步操作直到取出堆中所有元素。
复杂度证明：
优先队列中的元素总数不会超过k，插入一个元素的复杂度为O(logk)，弹出队首元素复杂度为O(logk)。
n个元素各入队出队一次，因此总复杂度为O(n)*(O(logk)+O(logk)) = O(nlogk)
