《算法导论》笔记 第7章 7.2快速排序的性能

【笔记】

最佳情况划分：两个子问题的大小都不大于n/2。

平衡的划分：每当按照常数比例进行划分时，总的时间都是O(nlogn)

【练习】

7.2-1 利用代换法证明：递归式T(n)=T(n-1)+⊙(n)的解为T(n)=⊙(n^2)。

假设

可以选择合适的常数C_1 C_2。得出T(n) = ⊙(n^2)。

7.2-2 当数组A的所有元素都具有相同值时，QUICKSORT 的运行时间是什么？

O(n^2)

7.2-3 证明：当数组 A 包含不同的元素、且按降序排序时，QUICKSORT 的运行时间是⊙(n^2)。

当元素按降序排列时，每次都是最大不对称划分，因此运行时间是⊙(n^2)。

7.2-4 对几乎已拍好序的输入进行排序，INSERTION-SORT优于QUICKSORT。

对于一个排好序的数组，QUICKSORT的运行时间是⊙(n^2)。插入排序在有序的情况下只需比较n-1次。

7.2-5 假设快速排序的每一层，所做的划分比例都是1-α：α，其中 0<α<1/2 是个常数。

证明：在对应的递归树中，叶子结点的最小深度大约是-lgn/lgα，最大深度大约是-lgn/lg(1-α)。

最小深度：设最大深度为m，每次向α分割方向下降，m次分割后仅剩1个元素 n*α^m = 1， α^m = 1/n ，两边取对数 mlgα = lg1-lgn ，m = -lgn/lgα

最大深度：同理 n*((1-α)^m) = 1， (1-α)^m = 1/n ，取对数 mlg(1-α) = -lgn 即 m = -lgn/lg(1-α)

*7.2-6 证明：对于任何常数 0<α<=1/2，在一个随机输入数组上，过程PARTITION产生比1-α：α更对称的划分的概率约为1-2α。