《算法导论》笔记 第7章 7.4快速排序分析

【笔记】

利用RANDOMIZED-PARTITION，快速排序算法期望的运行时间当元素值不同时，为O(nlgn)。

【练习】

7.4-1 证明：在递归式：

中，T(n)=Ω(n^2)。

采用代换法。

猜测 T(n) <= c*n^2，c为某个常数。


选择足够大的c,使得 c*(2*n-1)可以支配Θ(n)， T(n) <= c*n^2成立。

7.4-2 证明：快速排序的最佳情况运行时间为Ω(nlgn)。

7.4-3 证明：在q=0,1,...,n-1区间上，当q=0或q=n-1时，q^2+(n-q-1)^2取得最大值。

令x=q

一元二次函数，开口向上，x=(n-1)/2 为对称轴。

因为 0<=q<=n-1，所以x=0或x=n-1时，y取得最大值，即q^2+(n-q-1)^2取得最大值。

7.4-4 证明：RANDOMIZED-QUICKSORT 算法的期望运行时间是Ω(nlgn)。

随机化还没看=。=

7.4-5 当在一个长度小于k的子数组上调用快速排序时，让他不做任何排序就返回。当顶层的快速排序调用返回后，对整个数组运行插入排序来完成排序过程。证明这一排序算法的期望运行时间为O(nk+nlg(n/k))。在理论上和实践中，应如何选择k。

算法的时间由快速排序与插入排序两部分组成。

对于快速排序，递归树由logn变为logn-logk因此复杂度为O(nlog(n/k))。

对于插入排序，设快速排序将数组分为m份，每份Ki个元素，Ki<=k，∑Ki=n。

O(∑Ki*Ki) <= O(∑Ki*k) = O(k*∑Ki) = O(n*k)。

因此期望运行时间为O(nk+nlg(n/k))。

k的值理论在logn附近，实验中在非理论值附近选择k也可能最优。

*7.4-6 考虑对PARTITION过程做这样的修改：从数组A中随机的选择出三个元素，并围绕这三个数的中数对它们进行划分。求出以α的函数形式表示的、最坏情况中α：(1-α)划分的近似概率。

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