《算法导论》笔记 第13章 13.1 红黑树的性质

【笔记】

红黑树中每个结点包含五个域：color,key,left,right和p。

如果某结点没有一个子结点或父结点，则该域指向NIL。

我们把NIL视为二叉树的外结点(叶子)，而带关键字的结点视为内结点。

一棵二叉树如果满足下面的红黑性质，则为一棵红黑树：

1) 每个结点或是红的，或是黑的。

2) 根结点是黑的。

3) 每个叶结点(NIL)是黑的。

4) 如果一个结点是红的，则它的两个儿子都是黑的。

5) 对每个结点，从该结点到其子孙结点的所有路径上包含相同数目的黑结点。

采用哨兵来代表NIL，它的color域为BLACK，其它域为任意值。

从某个结点x出发(不包括该结点)到达一个叶结点的任意一条路径上，黑色结点的个数称为该结点x的黑高度，用bh(x)表示。

引理：一颗有n个内结点的红黑树的高度至多为2lg(n+1)。

动态集合操作SEARCH、MINIMUM、MAXIMUM、SUCCESSOR和PREDECESSOR可用红黑树在O(lgn)时间内实现，因为这些操作在一棵高度为h的二叉查找树上的运行时间为O(h)，而包含n个结点的红黑树又是高度为O(lgn)的查找树。

【练习】

13.1-1 画出在关键字集合{1,2,...,15}上高度为3的完全二叉查找树。以三种不同方式，向图中加入NIL叶结点并对各结点着色，是所得的红黑树的黑高度分别为2，3和4。

13.1-2 画图出调用TREE-INSERT插入关键字36后的结果。如果插入的结点被标为红色，所得的树是否还是一棵红黑树？如果该节点被标为黑色呢？

黑：不满足性质5)

红：不满足性质4)

13.1-3 定义松弛红黑树为满足红黑性质1，3，4和5的二叉查找树。换言之，根部可以是红色或是黑色。考虑一棵根是红色的松弛红黑树T。如果将T的根部标为黑色而其他都不变，则所得到的是否还是一颗红黑树？

根部标为黑色，满足了性质2)，没有破坏性质4)，从根结点到子孙结点上的黑结点数不变性质5)不变。

因此还是一颗红黑树。

13.1-4 假设将一颗红黑树的每一个红结点吸收到它的黑色父结点中，来让红结点的子女变成黑色父结点的子女。当一个黑结点的所有红色子女都被吸收后，其可能的度是多少？此结果树的叶子深度怎样？

不吸收：度为2

吸收一个：度可能为3

吸收两个：度可能为4

叶子深度为红黑树黑高度。

13.1-5 证明：在一棵红黑树中，从某结点x到其后代叶结点的所有简单路径中，最长的一条是最短一条的至多两倍。

设最短路径为k个黑结点：●●●●

由性质4没有连续两个红结点，性质5路径上黑结点数目相同，则最长路径：○●○●○●○●

因此最长的一条是最短一条的至多两倍。

13.1-6 在一棵高度为k的红黑树中，内结点最多可能有多少个？最少可能有多少个？

易知，最多可能有2^2k-1

最少可能有2^k-1

13.1-7 请描述出一棵在n个关键字上构造出来的红黑树，使其中红的内结点数与黑的内结点数的比值最大。这个比值是多少？具有最小可能比例的树又是怎样？此比值是多少？

黑红黑红交替。2：1。

全黑最小。0