⑨讲图论第四课: Dijkstra算法求最短路

迪科斯彻算法（英语：Dijkstra's algorithm）是由荷兰计算机科学家艾兹赫尔·戴克斯特拉（Edsger Wybe Dijkstra）发明的。算法解决的是有向图中单个源点到其他顶点的最短路径问题。举例来说，如果图中的顶点表示城市，而边上的权重表示著城市间开车行经的距离，该算法可以用来找到两个城市之间的最短路径。

算法描述

该算法的输入包含了一个有权重的有向图 G，以及G中的一个来源顶点 S。我们以 V 表示 G 中所有顶点的集合。每一个图中的边，都是两个顶点所形成的有序元素对。(u, v) 表示从顶点 u 到 v 有路径相连。我们以 E 所有边的集合，而边的权重则由权重函数 w: E → [0, ∞] 定义。因此，w(u, v) 就是从顶点 u 到顶点 v 的非负权重（weight）。边的权重可以想像成两个顶点之间的距离。任两点间路径的权重，就是该路径上所有边的权重总和。已知有 V 中有顶点 s 及 t，Dijkstra 算法可以找到 s 到 t 的最低权重路径(例如，最短路径)。这个算法也可以在一个图中，找到从一个顶点 s 到任何其他顶点的最短路径。

这个算法是通过为每个顶点 v 保留目前为止所找到的从s到v的最短路径来工作的。初始时，原点 s 的路径长度值被赋为 0 （d[s] = 0），若存在能直接到达的边（s,m），则把d[m]设为w（s,m）,同时把所有其他（s不能直接到达的）顶点的路径长度设为无穷大，即表示我们不知道任何通向这些顶点的路径（对于 V 中所有顶点 v 除 s 和上述 m 外 d[v] = ∞）。当算法退出时，d[v] 中存储的便是从 s 到 v 的最短路径，或者如果路径不存在的话是无穷大。 Dijkstra 算法的基础操作是边的拓展：如果存在一条从 u 到 v 的边，那么从 s 到 v 的最短路径可以通过将边（u, v）添加到尾部来拓展一条从 s 到 u 的路径。这条路径的长度是 d[u] + w(u, v)。如果这个值比目前已知的 d[v] 的值要小，我们可以用新值来替代当前 d[v] 中的值。拓展边的操作一直运行到所有的 d[v] 都代表从 s 到 v 最短路径的花费。这个算法经过组织因而当 d[u] 达到它最终的值的时候每条边（u, v）都只被拓展一次。

算法维护两个顶点集 S 和 Q。集合 S 保留了我们已知的所有 d[v] 的值已经是最短路径的值顶点，而集合 Q 则保留其他所有顶点。集合S初始状态为空，而后每一步都有一个顶点从 Q 移动到 S。这个被选择的顶点是 Q 中拥有最小的 d[u] 值的顶点。当一个顶点 u 从 Q 中转移到了 S 中，算法对每条外接边 (u, v) 进行拓展。

伪代码

在下面的算法中，u := Extract_Min(Q) 在顶点集合 Q 中搜索有最小的 d[u] 值的顶点 u。这个顶点被从集合 Q 中删除并返回给用户。

伪代码描述:

  function Dijkstra(G, w, s)
     for each vertex v in V[G]        // 初始化
           d[v] := infinity           // 将各点的已知最短距离先设置成无穷大
           previous[v] := undefined   // 各点的已知最短路径上的前趋都未知
     d[s] := 0                        // 因为出发点到出发点间不需移动任何距离，所以可以直接将s到s的最小距离设为0
     S := empty set
     Q := set of all vertices
     while Q is not an empty set      // Dijkstra演算法主體
           u := Extract_Min(Q)
           S.append(u)
           for each edge outgoing from u as (u,v)
                  if d[v] > d[u] + w(u,v)     // 拓展边（u,v）。w(u,v)为从u到v的路径长度。
                        d[v] := d[u] + w(u,v) // 更新路径长度到更小的那个和值。
                        previous[v] := u      // 记录前趋顶点

C++描述(采用邻接矩阵存图)

int dijkstra(int s,int t)
{
    int min_d,m;
    for (int i=1; i<=n; i++)
    {
        d[i]=OO;//将各点的已知最短距离先设置成无穷大
        v[i]=false;//表示所有点都在集合Q,此时集合S为空
        pre[i]=0;//各点的已知最短路径上的前趋都未知
    }
    d[s]=0;//因为出发点到出发点间不需移动任何距离，所以可以直接将s到s的最小距离设为0
    for (int lp=1; lp<=n; lp++)//Dijkstra算法主体
    {
        min_d=OO;
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            if (!v[i]&&d[i]<min_d)//寻找集合Q中最小的d[m]
            {
                min_d=d[i];
                m=i;
            }
        }
        v[m]=true;//将点m从集合Q移动到集合S
        for (int i=1; i<=n; i++)
        {
            if (!v[i]&&d[m]+a[m][i]<d[i])
            {
                d[i]=d[m]+a[m][i];//更新从s到i的最短路
                pre[i]=m;//记录前趋
            }
        }
    }
    return d[t];
}

通过推导可知，为了记录最佳路径的轨迹，我们只需记录该路径上每个点的前趋，即可通过迭代来回溯出 s 到 t 的最短路径（当然，使用后继节点来存储亦可。但那需要修改代码）

注意：如果图有负权边，那么dijkstra算法将会失效。