⑨讲图论第五课: Bellman-Ford算法求最短路

贝尔曼-福特算法（Bellman-Ford）是由 RichardBellman 和 Lester Ford 创立的，求解单源最短路径问题的一种算法。有时候这种算法也被称为Moore-Bellman-Ford 算法，因为 Edward F. Moore 也为这个算法的发展做出了贡献。它的原理是对图进行V-1次松弛操作，得到所有可能的最短路径。其优于迪科斯彻算法的方面是边的权值可以为负数、实现简单，缺点是时间复杂度过高，高达O(VE)。但算法可以进行若干种优化，提高了效率。

自然语言描述

对有向图G(V,E)，用贝尔曼-福特算法求以Vs为源点的最短路径的过程：
建立dist[]，表示目前已知源点到各个节点的最短距离，起始值dist[s]=0 ，其余皆为OO。
建立pred[]，pred[]表示某节点路径上的父节点，起始值皆为NULL。
对(Vi,Vj)∈E，比较dist[Vi]+(Vi,Vj)和dist[Vj],并将小的赋给dist[Vj]，如果修改了dist[Vj]则pred[Vj]=Vi（松弛操作）
重复以上操作V-1次
再重复操作一次，如dist[Vj]>dist[Vi]+(Vi,Vj),则此图存在负权环。

原理

松弛
每次松弛操作实际上是对相邻节点的访问，第次松弛操作保证了所有深度为n的路径最短。由于图的最短路径最长不会经过超过条边，所以可知贝尔曼-福特算法所得为最短路径。

负边权操作
与迪科斯彻算法不同的是，迪科斯彻算法的基本操作“拓展”是在深度上寻路，而“松弛”操作则是在广度上寻路，这就确定了贝尔曼-福特算法可以对负边进行操作而不会影响结果。

负权环判定
因为负权环可以无限制的降低总花费，所以如果发现第次操作仍可降低花销，就一定存在负权环。

        for (int loop=1;loop<=n;loop++)
        {
            flag=true;
            for (int i=1;i<=n;i++)
            {
                for (int j=1;j<=n;j++)
                {
                    if (a[i][j]!=0)
                    {
                        if (dist[j]>dist[i]+a[i][j])
                        {
                            dist[j]=dist[i]+a[i][j];
                            flag=false;
                        }
                    }
                }
            }
            if (flag)break;
        }