bzoj 4016: [FJOI2014]最短路径树问题
bzoj4016 最短路路径问题
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Description
给一个包含n个点，m条边的无向连通图。从顶点1出发，往其余所有点分别走一次并返回。
往某一个点走时，选择总长度最短的路径走。若有多条长度最短的路径，则选择经过的顶点序列字典序最小的那条路径(如路径A为1,32,11，路径B为1,3,2,11，路径B字典序较小。注意是序列的字典序的最小，而非路径中节点编号相连的字符串字典序最小)。到达该点后按原路返回，然后往其他点走，直到所有点都走过。
可以知道，经过的边会构成一棵最短路径树。请问，在这棵最短路径树上，最长的包含K个点的简单路径长度为多长？长度为该最长长度的不同路径有多少条？
这里的简单路径是指：对于一个点最多只经过一次的路径。不同路径是指路径两端端点至少有一个不同，点A到点B的路径和点B到点A视为同一条路径。
Input
第一行输入三个正整数n,m，K，表示有n个点m条边，要求的路径需要经过K个点。
接下来输入m行，每行三个正整数\(A_i,B_i,C_i(1 \le A_i,B_i \le n,1 \le C_i \le 10000)\)，表示\(A_i\)和\(B_i\)间有一条长度为\(C_i\)的边。数据保证输入的是连通的无向图。
Output
输出一行两个整数，以一个空格隔开，第一个整数表示包含K个点的路径最长为多长，第二个整数表示这样的不同的最长路径有多少条。
Sample Input
6 6 4
1 2 1
2 3 1
3 4 1
2 5 1
3 6 1
5 6 1
Sample Output
3 4
HINT
对于所有数据\(n \le 30000,m \le 60000，2 \le K \le n\)。数据保证最短路径树上至少存在一条长度为K的路径。
题解
这题很显然是一道点分治的裸题。
我们可以定义\(g[i]\)表示对于当前\(root\)，深度为\(i\)的最大距离以及此距离方案数。
为了求出\(ans\)，我们再用\(f[i]\)累积之前的\(g[i]\)，这样，我们就可以直接点分治求出答案。
#include <vector>
#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int N = 30010;
typedef pair<int, int>pii;
vector<pii> G[N];
int n, m, mv, cnt, root, Siz, K;
int s[N], froot, f[2][N], g[2][N];
bool vis[N];
int to[N << 1], nxt[N << 1], head[N], W[N << 1], totE;
#define Adde(a,b,c) (to[totE] = b, nxt[totE] = head[a], W[totE] = c, head[a] = totE++)
//dijkstra
priority_queue<pii, vector<pii>, greater<pii> >heap;
int d[N];
void dijkstra() {
memset(d, 127, sizeof d);
heap.push(make_pair(d[1] = 0, 1));
int p, dis, w, v;
while (!heap.empty()) {
dis = heap.top().first, p = heap.top().second;
heap.pop(); if (d[p] ^ dis) continue;
sort(G[p].begin(), G[p].end());
for (int i = 0; i < G[p].size(); ++i)
if (d[v = G[p][i].first] > dis + (w = G[p][i].second)) heap.push(make_pair(d[v] = dis + w, v));
}
}
void Build(int u) {
int v; vis[u] = true;
for (int i = 0; i < G[u].size(); ++i)
if (!vis[v = G[u][i].first] && d[v] == d[u] + G[u][i].second) {
Adde(v, u, G[u][i].second); Adde(u, v, G[u][i].second); Build(v);
}
}
void getroot(int u, int fa) {
s[u] = 1; int mx = 0, v;
for (int it = head[u]; ~it; it = nxt[it])
if (!vis[v = to[it]] && (v ^ fa)) {
getroot(v, u); s[u] += s[v];
if (s[v] > mx) mx = s[v];
}
if (Siz - mx > mx) mx = Siz - mx;
if (froot > mx) root = u, froot = mx;
}
void dfs(int u, int fa, int dep) {
if (dep > K) return; int v;
if (d[u] > g[0][dep]) g[0][dep] = d[u], g[1][dep] = 0;
if (d[u] >= g[0][dep]) ++g[1][dep];
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i])
if (!vis[v = to[i]] && (v ^ fa)) {
d[v] = d[u] + W[i]; dfs(v, u, dep + 1);
}
}
void solve(int u, int S) {
vis[u] = true; f[0][0] = 0; f[1][0] = 1;
int v;
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i])
if (!vis[v = to[i]]) {
d[v] = W[i]; dfs(v, u, 1);
for (int j = 1; j <= K; ++j) {
if (g[0][j] + f[0][K - j] > mv) mv = g[0][j] + f[0][K - j], cnt = 0;
if (g[0][j] + f[0][K - j] >= mv) cnt += g[1][j] * f[1][K - j];
}
for (int j = 1; j <= K; ++j) {
if (g[0][j] > f[0][j]) f[0][j] = g[0][j], f[1][j] = 0;
if (g[0][j] >= f[0][j]) f[1][j] += g[1][j];
g[0][j] = g[1][j] = 0;
}
}
for (int i = 0; i <= K; ++i) f[0][i] = f[1][i] = 0;
for (int i = head[u]; ~i; i = nxt[i])
if (!vis[v = to[i]]) {
froot = Siz = s[v]; root = 0;
getroot(v, u);
solve(root, s[v]);
}
}
int main() {
scanf("%d%d%d", &n, &m, &K);
--K;
int a, b, c;
while (m--) {
scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
G[a].push_back(make_pair(b, c));
G[b].push_back(make_pair(a, c));
}
dijkstra();
memset(head, -1, sizeof head);
Build(1);
memset(vis, 0, sizeof vis);
froot = Siz = n;
getroot(1, root = 0);
solve(root, n);
printf("%d %d\n", mv, cnt);
return 0;
}
