BZOJ4570: [Scoi2016]妖怪

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4570: [Scoi2016]妖怪

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Description

邱老师是妖怪爱好者，他有n只妖怪，每只妖怪有攻击力atk和防御力dnf两种属性。邱老师立志成为妖怪大师，于
是他从真新镇出发，踏上未知的旅途，见识不同的风景。环境对妖怪的战斗力有很大影响，在某种环境中，妖怪可
以降低自己k×a点攻击力，提升k×b点防御力或者，提升自己k×a点攻击力，降低k×b点防御力，a，b属于正实数
，k为任意实数，但是atk和dnf必须始终非负。妖怪在环境(a,b)中的战斗力为妖怪在该种环境中能达到的最大攻击
力和最大防御力之和。strength(a,b)=max(atk(a,b))+max(dnf(a,b))环境由a，b两个参数定义，a，b的含义见前
文描述。比如当前环境a=3，b=2，那么攻击力为6，防御力为2的妖怪，能达到的最大攻击力为9，最大防御力为6。
所以该妖怪在a=3，b=2的环境下战斗力为15。因此，在不同的环境，战斗力最强的妖怪可能发生变化。作为一名优
秀的妖怪训练师，邱老师想发掘每一只妖怪的最大潜力，他想知道在最为不利的情况下，他的n只妖怪能够达到的
最强战斗力值，即存在一组正实数(a,b)使得n只妖怪在该环境下最强战斗力最低。

Input

第一行一个n，表示有n只妖怪。接下来n行，每行两个整数atk和dnf，表示妖怪的攻击力和防御力。
1≤n≤10^6, 0＜atk,dnf≤10^8

Output

输出在最不利情况下最强妖怪的战斗力值，保留4位小数。

Sample Input

3

1 1

1 2

2 2

Sample Output

8.0000

题解

首先我们可以得到 $strength= atk + a / b * dnf + dnf + b / a * atk $ ,进而得到 \(strength=(a+b)/a*atk+(a+b)/b * dnf\)
所以我们将atk看为x，dnf看为y，则strength就是一条斜率为$ -b/a $ 的直线，而此时最大战力就是就是最外面的那条直线。所以我们可以将这些直线跑一个半凸包。其实按照我的想法就该三分了，然出题人告诉我这样会挂。。。

正解是这些点些点对应的斜率都有一个范围，然后将 \(strength\) 变为一个双钩函数，之后讨论最值，跟新ans。

#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
using namespace std;

typedef long long LL;
LL Ina; bool InSign; char Inc;
inline LL geti() {
	InSign = false; 
        while ((Inc = getchar()) < '0' || Inc > '9') InSign |= Inc == '-'; 
        Ina = Inc - '0';
	while ((Inc = getchar()) >= '0' && Inc <= '9') Ina = (Ina << 3) + (Ina << 1) + Inc - '0'; 
        return InSign ? -Ina : Ina;
}
const int N = 1e6 + 5;
const double OO = 1e9;
struct P{
	LL x, y;
	P(LL a = 0, LL b = 0) : x(a), y(b) {}
	P operator - (const P &a) const { return P(x - a.x, y - a.y); }
	LL operator * (const P &a) const { return x * a.y - y * a.x; }
	bool operator < (const P &a) const { return (x < a.x) || (x == a.x && y < a.y); }
	void Read() { x = geti(), y = geti(); }
}p[N], Stack[N];
//k = -b/a
inline double get(const P &a) { return -sqrt((double)a.y / a.x); }
inline double getk(const P &a, const P &b) { 
       return (a.x ^ b.x) ? ((double)(a.y - b.y) / (double)(a.x - b.x)) : OO; 
}
inline double Cal(const P &a, const double &k) { 
       return k >= 0 ? OO : (double)a.x + a.y + - k * a.x - a.y / k; 
}
template <class T>
inline void SelfMin(T &a, const T &b) { if (b < a) a = b; }

int main() {
	int n = geti(), i, j, top = 0;
	for (i = 1; i <= n; ++i) p[i].Read();
	sort(p + 1, p + n + 1);
	Stack[++top] = p[1];
	for (i = 2; i <= n; ++i) {
		while (top >= 2 && (Stack[top]-Stack[top-1])*(p[i]-Stack[top-1]) >= 0) 
                    --top;
		Stack[++top] = p[i];
	}
	if (top < 2) return printf("%.4lf\n", Cal(Stack[1], get(Stack[1]))), 0;
	double k, k1, k2, ans = OO;
	k2 = getk(Stack[1], Stack[2]); k = get(Stack[1]);
	if (k >= k2) SelfMin(ans, Cal(Stack[1], k));
	k1 = getk(Stack[top - 1], Stack[top]); k = get(Stack[top]);
	if (k <= k1) SelfMin(ans, Cal(Stack[top], k));
	SelfMin(ans, Cal(Stack[top], k1));
	for (i = 2; i < top; ++i) {
		k1 = getk(Stack[i - 1], Stack[i]), k2 = getk(Stack[i], Stack[i + 1]);
                k = get(Stack[i]);
		SelfMin(ans, Cal(Stack[i], k1));
		if ((k <= k1) && (k >= k2)) SelfMin(ans, Cal(Stack[i], k));
	}
	return printf("%.4lf\n", ans), 0;
}