BZOJ4380 Myjnie / Luogu3592 [POI2015]MYJ-区间DP

Description

有$n$家洗车店从左往右排成一排，每家店都有一个正整数价格$p[i]$。

有$m$个人要来消费，第$i$个人会驶过第$a[i]$个开始一直到第$b[i]$个洗车店，且会选择这些店中最便宜的一个进行一次消费。但是如果这个最便宜的价格大于$c[i]$，那么这个人就不洗车了。

请给每家店指定一个价格，使得所有人花的钱的总和最大。

Solution

神仙$DP$ QAQ

每个店的价格肯定是$c_i$中的某一个值， 所以可以离散化

定义状态 $dp[L][R][k]$ 表示 在区间$[i,j]$ 最小值为$k$ 时所能收益的最大值

转移 ： $dp[L][R][k] = \max{(dp[L][i - 1][k] + dp[i + 1][R][k] + cnt[i][k])}$

但是发现这样无法快速求出答案， 所以把$dp[L][R][k]$定义为 最小值 $>=k$时所能收益的最大值。

则多了一个转移： $dp[L][R][k] = \max{(dp[L][R][k], dp[L][R][k + 1])}$。

题目要求 求出方案， 则定义$val[L][R][k]$ 为真正的$k$值， $P[L][R][k]$ 为哪个位置取 $k$

最后递归求方案

空间复杂度$O(N^2M)$, 时间复杂度$O(N^3M)$

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define N 55
#define M 4005
#define rd read()
using namespace std;

int n, m;
int dp[N][N][M], cnt[N][M], val[N][N][M], P[N][N][M];
int ls[M], tot, ans[N];

struct node {
    int l, r, val;
}a[M];

inline int read() {
    int X = 0, p = 1; char c = getchar();
    for (; c > '9' || c < '0'; c = getchar())
        if (c == '-') p = -1;
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
        X = X * 10 + c - '0';
    return X * p;
}

int fd(int x) {
    return lower_bound(ls + 1, ls + 1 + tot, x) - ls;
}

void cmax(int &A, int B) {
    if (A < B)
        A = B;
}

void DP(int L, int R) {
    memset(cnt, 0, sizeof(cnt));
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        if (a[i].l < L || a[i].r > R)
            continue;
        for (int j = a[i].l; j <= a[i].r; ++j)
            cnt[j][a[i].val]++;
    }
    for (int i = L; i <= R; ++i)
        for (int j = tot - 1; j; --j)
            cnt[i][j] += cnt[i][j + 1];
    for (int i = tot; i; --i) {
        int maxn = -1, pos = 0;
        for (int j = L; j <= R; ++j) {
            int res = dp[L][j - 1][i] + dp[j + 1][R][i] + cnt[j][i] * ls[i];
            if (res > maxn)
                maxn = res, pos = j;
            cmax(dp[L][R][i], res);
        }
        val[L][R][i] = i;
        P[L][R][i] = pos;
        if(i < m && dp[L][R][i] < dp[L][R][i + 1]) 
            val[L][R][i] = val[L][R][i + 1],
            dp[L][R][i] = dp[L][R][i + 1],
            P[L][R][i] = P[L][R][i + 1];
    }
}

void findans(int L, int R, int lim) {
    if (L > R) return;
    int fin = val[L][R][lim], pos = P[L][R][lim];
    ans[pos] = fin;
    findans(L, pos - 1, fin);
    findans(pos + 1, R, fin);
}

int main()
{
    n = rd; m = rd;
    for (int i = 1; i <= m; ++i) {
        a[i].l = rd; a[i].r = rd; a[i].val = rd;
        ls[++tot] = a[i].val;
    }
    sort(ls + 1, ls + 1 + tot);
    tot = unique(ls + 1, ls + 1 + tot) - ls - 1;
    for (int i = 1; i <= m; ++i)
        a[i].val = fd(a[i].val);
    for (int i = n; i; --i)
        for (int j = i; j <= n; ++j)
            DP(i, j);
    printf("%d\n", dp[1][n][1]);
    findans(1, n, 1);
    for (int i = 1; i <= n; ++i)
        printf("%d ", ls[ans[i]]);
    puts("");
}