Luogu 3421 [POI2005]SKO-Knights - Exgcd

Description

给出一个骑士的 $N$种 中行走的方式 $(a_i, b_i)$， 可以使骑士的坐标$(-a,-b)$或$(+a,+b)$。

我们需要找出 第二个骑士的 两种行走方式 $(c_1, d_1)$ 和 $(c_2, d_2)$ 使得 两个骑士能走到的点 完全相同。

 

保证$a_i, b_i$ 不会同时$=0$。

Solution

真的是比较神奇的解法， 只需要会exgcd就能够做的题（然而我真的没有想到。

 

我们要将  两个 不竖直的 向量 $(a_1, b_1)$ ， $(a_2, b_2)$ 转换成 等价的  一个不竖直向量$(a_3,b_3)$和 一个竖直向量$(0,b_4)$ 

也就是下图中的 两条绿线

　　　（我是真的不会画图QAQ）　图源 

 

 

然后我们就能发现  能走到的点  的 水平距离 为 $gcd(a_1, a_2)$。

并且 横坐标相同的点 ， 纵坐标的差 为 $(a_1 \times b_2 \ - \ a_2 \ times b_1)\div gcd(a_1,a_2)$

　　证明： 设 $a_1 \times x_1 + a_2 \times y_1= $横坐标

　　　　　那么 $b_1 \times x_1 + b_2 \times y_1=$纵坐标

　　　　　根据扩展欧几里得， $x = x_1  + k \times a_2 \div gcd, y  = y_1 - k \times a_1 \div gcd$，

　　　　　　　　　　　　　　把$x, y$带入第二个式子， 就得到了纵坐标差为 $(a_1 \times b_2 \ - \ a_2 \times b_1)\div gcd(a_1,a_2)$。

 

接着使 $a_3 = gcd(a_1,a_2)$,  并算出 满足  $a_1 \times x_1 + a_2 \times y_1= gcd(a_1,a_2)$ 的 $x_1$, 和$y_1$。

令$b_3 = b_1 \times x_1 + b_2 \times y_1$。

$b_4 = (a_1 \times b_2 \ - \ a_2 \times b_1)\div gcd(a_1,a_2)$

并且这两个向量是与 转换之前的向量 等价， 即它们所构成的 所有坐标都相同。

 

所有的竖直向量都可以合并成 $gcd$， 所以我们把得到的 竖直向量与之前的竖直向量合并成一个。

这样每一次操作 两个向量 都会变成 一个向量。 最后只剩一个竖直向量 和 一个不竖直向量 就是要的答案了。

 

Code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define rd read()
using namespace std;
typedef pair<int, int> P;

const int N = 1e5 + 5;

int n, ans1, ans2;

queue<P> q;

int read() {
    int X = 0, p = 1; char c = getchar();
    for (; c > '9' ||  c < '0'; c = getchar())
        if (c == '-') p = -1;
    for (; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar())
        X = X * 10 + c - '0';
    return X * p;
}


int gcd(int x, int y) {
    if (!x || !y)
        return x + y;
    return gcd(y, x % y);
}

int exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int d = exgcd(b ,a % b, x , y), z = y;
    y = x - a/b * y; x = z;
    return d;
}

#define fir first
#define sec second

int main()
{
    n = rd;
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        int a = rd, b = rd;
        if (a == 0)    ans2 = gcd(ans2, b);
        else q.push(P(a, b));
    }
    for (; q.size() > 1;) {
        P u = q.front(), v; q.pop();
        v = q.front(); q.pop();
        int x, y;
        int a = exgcd(u.fir, v.fir, x ,y), b = u.sec * x + v.sec * y;
        int t = (u.fir * v.sec - u.sec * v.fir) / a;
        q.push(P(a, b));
        ans2 = gcd(ans2, t);
    }
    printf("0 %d\n", ans2);
    if (q.empty()) printf("0 %d\n", ans2 * 2);
    else {
        P t = q.front();
        printf("%d %d\n", t.fir, t.sec);
    }
}