Luogu 2822[NOIP2016] 组合数问题 - 数论

题解

乱搞就能过了。

首先我们考虑如何快速判断C(i, j ) | k 是否成立。

由于$k$非常小， 所以可以对$k$分解质因数， 接着预处理出前N个数的阶乘的因数中 $p_i$ 的个数, 然后就可以$O(1)$判断C(i,j）| k 

然后用mk[i][j] 记录 C(i, j) | k ， 并将它转化为二位前缀和， 每次查询只需要输出mk[ n ][ m ]即可

预处理时间复杂度：$O(NlnN + NM)$

每次查询$O(1)$

 

代码

#include<cstring>
#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define rd read()

const int N = 2e3 + 5;

int T, k, n, m;
int pri[5], cnt[5], tot;
int num[N][5], mk[N][N];

int read() {
    int X = 0, p = 1; char c = getchar();
    for(; c > '9' || c < '0'; c = getchar()) if(c == '-') p = -1;
    for(; c >= '0' && c <= '9'; c = getchar()) X = X * 10 + c - '0';
    return X * p;
}

int fpow(int a, int b) {
    int re = 1;
    for(; b; b >>= 1, a *= a) if(b & 1) re *= a;
    return re;
}

int jud(int x, int y) {
    for(int i = 1; i <= tot; ++i) {
        int re = 0;
        re += num[x][i];
        re -= num[y][i];
        re -= num[x - y][i];
        if(re < cnt[i]) return 0;
    }
    return 1;
}

void init() {
    int t = k;
    for(int i = 2; i <= k; ++i) if(t % i == 0) {
        pri[++tot] = i;
        while(t % i == 0) cnt[tot]++, t /= i;
    }
    for(int j = 1; j <= tot; ++j) 
        for(int l = 1; ; ++l) {
            int p = fpow(pri[j], l);
            if(p >= N) break;
            for(int i = 1; i < N; ++i) num[i][j] += i / p;
        }
    for(int i = 1; i < N; ++i)
        for(int j = 1; j <= i; ++j) if(jud(i, j)) mk[i][j] = 1;
    for(int i = 1; i < N; ++i)
        for(int j = 1; j < N; ++j) mk[i][j] += mk[i - 1][j];
    for(int i = 1; i < N; ++i)
        for(int j = 1; j < N; ++j) mk[i][j] += mk[i][j - 1];
}

int main()
{
    T = rd; k = rd;
    init();
    for(; T; T--) {
        n = rd; m = rd;
        printf("%d\n", mk[n][m]);
    }
}