分布,在计算机学科里一般是指概率分布,是概率论的基本概念之一。分布反映的是随机或某个系统中的某个变量,它的取值的范围和规律。
常见的分布有:二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布等,下面对它们进行一一介绍。
PS:本文中谈到的PDF、PMF、CDF均为公认的缩写方式:
PDF:概率密度函数(probability density function);
PMF:概率质量函数(probability mass function);
CDF:累积分布函数(cumulative distribution function)。
二项分布
说起二项分布,离不开伯努利实验,二项分布就是重复N次的伯努利实验(伯努利实验,是指一种只有两种相反结果的随机试验,比如抛硬币,结果只有正面和反面;又比如投篮,只有投中和没有投中两种结果)。它的PMF可写作:
其中k为在n次实验中命中的次数,成功的概率为p。
二项分布的CDF可以写作:
例子:抛10次硬币,有2次正面朝上的概率是多少?下面分别用C++实现和用numpy证明结果
C++实现:
#include <vector> #include <iostream> #include <iomanip> double calc_binomial(int n, int k, double p) { if(n < 0 || k < 0) return 0.0; std::vector< std::vector< double > > binomials((n + 1), std::vector< double >(k + 1)); binomials[0][0] = 1.0; for(int i = 1; i < (n + 1); ++i) binomials[i][0] = (1.0 - p) * binomials[i - 1][0]; for(int j = 1; j < (k + 1); ++j) binomials[0][j] = 0.0; for(int i = 1; i < (n + 1); ++i) for (int j = 1; j < (k + 1); ++j) binomials[i][j] = (1.0 - p) * binomials[i - 1][j] + p * binomials[i - 1][j - 1]; return binomials[n][k]; } int main() { std::cout << std::fixed << std::setprecision(8) << calc_binomial(10, 2, 0.50) << std::endl; }
结果为:0.04394531
Python实现:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def calc_binomial(): n = 10 p = 0.5 k = 2 binomial = stats.binom.pmf(k,n,p) print binomial calc_binomial()
结果为:0.0439453125
反之,知道投10次硬币朝上的平均概率为0.3(即平均有3次朝上),试着从10000次实验中找出规律。
用C++实现:
#include <iostream> #include <cmath> #include <iomanip> #include <vector> #include <cstdlib> #include <ctime> int gen_binomial_rand(int n, double p) { int k = 0; for(int i = 0; i < n; i++) { double current_probability = ((double)rand() / (double)RAND_MAX); if(current_probability < p) { k++; } } return k; } int main() { srand((unsigned)time(NULL)); int gn = 10; double gp = 0.3; int times = 10000; int sum_of_times = 0; std::vector< int > result(gn); for(int t = 0; t < times; t++) { int single_result = gen_binomial_rand(gn, gp); if(single_result < gn) { result[single_result]++; } } std::cout << std::endl; for(int i = 0; i < gn; i++) { sum_of_times += result[i]; std::cout << result[i] << ","; } std::cout << std::endl; std::cout << "Total: " << sum_of_times << std::endl; return 0; }
结果为:
323,1199,2310,2631,1951,1103,367,97,18,1,
Total: 10000
拿到Python里面用图表看一下:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def show_binom_rvs(): n = np.array([323,1199,2310,2631,1951,1103,367,97,18,1]) plt.plot(n) plt.show() show_binom_rvs()
显示为:
我们再来用Python的numpy和scipy的库来验证一下:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def calc_binom_rvs(): binom_rvs = stats.binom.rvs(n=10,p=0.3,size=10000) plt.hist(binom_rvs, bins=10) plt.show() calc_binom_rvs()
得到结果图片:
可以看到两次的图形包络是近似的。
泊松分布
在日常生活中,我们经常会遇到一些事情,这些事情发生的频率比较固定,但是发生的时间是不固定的,泊松分布就是用来描述单位时间内随机事件的发生概率。比如:知道一个医院平均每小时有3个小孩出生,那么下一个小时出生2个小孩的概率是多少?
泊松分布的PMF可以写作:
其中,t为连续时间长度,k为事件发生的次数,λ为发生事件的数学期望(如单位时间内发生事件的均值),e为自然底数。
就上面的例子,知道一个医院平均每小时有3个小孩出生,那么下一个小时出生2个小孩的概率是多少?用C++实现:
#include <iostream> #include <cmath> #include <iomanip> double calc_poisson(int k, int lambda) { double result; result = pow(lambda, k) * exp(-lambda); int factorial = 1; for(int i = 1; i <= k; i++) { factorial *= i; } result = result / factorial; return result; } int main() { std::cout << std::fixed << std::setprecision(8) << calc_poisson(2, 3) << std::endl; }
结果是:0.22404181
用Python验证:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def calc_poisson(): lambd = 3 k = 2 y = stats.poisson.pmf(k,lambd) print y calc_poisson()
结果是:0.224041807655
下面再用C++实现生成泊松随机数,并用Python检验:
C++实现:
#include <iostream>
#include <cmath>
#include <iomanip>
#include <vector>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
double binary_random()
{
double rand_number = (rand() % 100);
rand_number /= 100;
return rand_number;
}
int calc_poisson(int lambda)
{
int k = 0;
double p = 1.0;
double l = exp(-lambda);
while(p >= l)
{
double r = binary_random();
p *= r;
k++;
}
return (k - 1);
}
int main()
{
int t = 10000;
int lambda = 3;
int distribution = 20;
int dist_cells[distribution] = {0};
srand((unsigned)time(NULL));
for(int i = 0; i < t; i++)
{
int n = calc_poisson(lambda);
dist_cells[n]++;
}
for(int i = 0; i < distribution; i++)
{
std::cout << dist_cells[i] << ",";
}
std::cout << std::endl;
return 0;
}
运行结果为:467,1604,2298,2264,1608,952,466,217,87,29,6,2,0,0,0,0,0,0,0,0,
放入Python显示并和Python生成的比较:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def gen_poisson_rvs(): dist = 20 cpp_result = np.array([467,1604,2298,2264,1608,952,466,217,87,29,6,2,0,0,0,0,0,0,0,0]) py_result = np.random.poisson(lam=3,size=10000) plt.hist(py_result,bins=dist,range=[0,dist],color='g') plt.plot(cpp_result,color='r') plt.show() gen_poisson_rvs()
运行并显示图表为:
指数分布
指数分布,描述的是在某一事件发生后,在连续时间间隔内继续发生的概率。比如上面的例子,知道一个医院平均每小时有3个小孩出生,刚刚已经有一个小孩出生了,那么下一个小孩在15分钟内出生的概率是多少?
指数分布的CDF可以写作:
其中t为时间长度,e为自然底数。
下面用C++实现:
#include <iostream> #include <cmath> #include <iomanip> double calc_exponential(double lambda, double t) { double result; result = (1 - exp((-lambda) * t)); return result; } int main() { std::cout << std::fixed << std::setprecision(8) << calc_exponential(3, 0.25) << std::endl; }
结果为:0.52763345
用Python验证:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def calc_expon(): lambd = 3 x = np.arange(0,1,0.25) y = 1 - np.exp(-lambd *x) print y calc_expon()
结果为:[ 0. 0.52763345 0.77686984 0.89460078]
其中x=0.25时结果为0.52763345
下面是生成lambda=3的指数分布随机数,样本数是10000。同样是用C++实现,Python验证。
C++实现:
#include <iostream> #include <cmath> #include <iomanip> #include <vector> #include <cstdlib> #include <ctime> double calc_exponential(double lambda) { double expon_rand = 0.0; while(1) { expon_rand = ((double)rand()/(double)RAND_MAX); if(expon_rand != 1) { break; } } expon_rand = ((-1 / lambda) * log(1 - expon_rand)); return expon_rand; } int main() { int t = 10000; double lambda = 3; const int distribution = 20; double dist_cells[distribution] = {0}; srand((unsigned)time(NULL)); for(int i = 0; i < t; i++) { int n = calc_exponential(lambda); dist_cells[n]++; } for(int i = 0; i < distribution; i++) { std::cout << dist_cells[i] << ","; } std::cout << std::endl; return 0; }
结果是:9515,469,16,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,
放入Python并用Python生成的对比:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def gen_expon_rvs(): cpp_result = np.array([9515,469,16,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0]) lambd_recip = 0.33 py_result = stats.expon.rvs(scale=lambd_recip,size=10000) plt.plot(cpp_result,color='r') plt.hist(py_result,color='b') plt.xlim(0,20) plt.show() gen_expon_rvs()
得到图片:
PS:其中最大值不一致的情形并不是计算错误,而是X轴的分布单位不一致,Python的是浮点的,而C++的代码是整形的,所以看到Python的分布最大值比较小是因为平均到了小数。
正态分布(高斯分布)
翻开任何一本讲统计的数学书,对于正态分布大抵会有相似的描述:若一个随机变量X服从一个数学期望为λ,标准差为σ的概率分布,且PDF为:
则称这个随机变量为正态随机变量。
当λ=0,σ=1时,称其为标准正态分布,PDF简化为:
在现实中,有大量的案例是符合正态分布的,比如全中国18岁以上男性人口的身高分布,170cm左右的占绝大部分,160和180的占较少部分,150以下和190以上的占极少部分。
说起正态分布的例子,有个著名的实验是不得不提的,那就是高尔顿钉板实验。
高尔顿钉板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行、水平间隔相等的铁钉,并且每一排钉子数目都比上一排多一个,一排中各个钉子下好对准上面一排两上相邻铁钉的正中央。从入口处放入一个直径略小于两颗钉子间隔的小球,当小球从两钉之间的间隙下落时,由于碰到下一排铁钉,它将以相等的可能性向左或向右落下,接着小球再通过两钉的间隙,又碰到下一排铁休。如此继续下去,小球最后落入下方条状的格子内。在等可能性(即小球落在左边和落在右边的概率均为50%)的情况下,小球落下后满足正态分布。
下面的代码用C++计算模拟高尔顿实验过程,并把结果放到Python显示出来。
C++模拟实验过程:
#include <iostream> #include <cmath> #include <iomanip> #include <vector> #include <cstdlib> #include <ctime> int binary_random() { double rand_number = (rand() / (double)RAND_MAX); if(rand_number > 0.5) return 1; else return 0; } void galton_test(int num_of_cells, int num_of_balls) { srand((unsigned)time(NULL)); std::vector< int > cells(num_of_cells); int rand; for(int i = 1; i <= num_of_balls; i++) { int cell = 0; for(int j = 1; j < num_of_cells; j++) { int rand = binary_random(); cell += rand; } cells[cell]++; } std::cout << std::endl; for(int i = 0; i < num_of_cells; i++) { std::cout << cells[i] << ","; } std::cout << std::endl; } int main() { galton_test(20, 5000); }
结果为:0,0,3,14,45,95,264,481,720,886,911,741,452,240,95,45,6,1,1,0,
结果每次都不一样,但将其放入以下Python代码显示:
import numpy as np from scipy import stats import matplotlib.pyplot as plt def show_galton(): n = np.array([0,0,3,14,45,95,264,481,720,886,911,741,452,240,95,45,6,1,1,0]) plt.plot(n) plt.show() show_galton()
得到以下图片:
可以看出,是个明显的钟型曲线,说明高尔顿实验是满足正态分布的。在这个实验中,我们还可以去调整num_of_cells, num_of_balls的值,可以看出,当num_of_cells的值越大,曲线越陡峭,越小,曲线越平坦;num_of_balls的值越大,曲线就越像正态分布。说到这里可能大家就会想的到,这个实验中,num_of_cells的值可以认为就是正态分布的σ,而我们设定的随机数0,1会影响到正态分布的λ,有兴趣的朋友可以改一下上面的例程,将随机数生成改为大于0.5,或小于0.5,可以观察到最后的曲线中轴线会向左偏和向右偏。
说到这里,下面的公式应该是理所当然的了:
若一个随机变量X服从一个数学期望为λ,尺度参数为σ的概率分布,记作
说到这里,通过上面的实验大家应该大概知道高斯分布是个什么东西了。那么如何编程实现生成符合高斯分布的随机数呢?
生成高斯分布的随机数有多种方法:
(1) Box-Muller变换算法
(2) 利用中心极限定理迭代法
(3) Ziggurat算法
等。其中,在效率和通用性方面比较均衡的是Box-Muller算法,C++11和Python的数学库里面基本都是用的它。
它的原理是:
随机抽出从[0,1]中符合均匀分布的数a和b,然后令:
那么这两个数都是符合正态分布的。
若想产生服从期望是λ,标准差是σ的正态分布,那么:
下面,我们用C++来实现:
#include <iostream> #include <cmath> #include <iomanip> #include <vector> #include <cstdlib> #include <ctime> #include <limits> double calc_gaussian(double sigma, double lambda) { static const double epsilon = std::numeric_limits<double>::min(); static const double two_pi = (2.0 * 3.14159265358979323846); static double z1; static bool generate; generate = !generate; if (!generate) return z1 * sigma + lambda; double a, b; do { a = rand() * (1.0 / RAND_MAX); b = rand() * (1.0 / RAND_MAX); }while ( a <= epsilon ); double z0; z0 = sqrt(-2.0 * log(a)) * cos(two_pi * b); z1 = sqrt(-2.0 * log(a)) * sin(two_pi * b); return z0 * sigma + lambda; } int main() { int t = 10000; double lambda = 10; double sigma = 1; const int distribution = 20; double dist_cells[distribution] = {0}; srand((unsigned)time(NULL)); for(int i = 0; i < t; i++) { int n = calc_gaussian(sigma, lambda); dist_cells[n]++; } for(int i = 0; i < distribution; i++) { std::cout << dist_cells[i] << ","; } std::cout << std::endl; return 0; }
得到结果:0,0,0,0,0,0,12,190,1374,3372,3519,1325,196,12,0,0,0,0,0,0,
放入Python显示: