对数，真数，底数

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对数及运算法则

 

1.对数源于指数，是指数函数反函数

　　因为：y = a^x

　　所以：x = log_ay

2. 对数的定义

　　【定义】如果 N=a^x（a>0,a≠1），即a的x次方等于N（a>0，且a≠1），那么数x叫做以a为底N的对数（logarithm），记作：

　　 x=log_aN

　　其中，a叫做对数的底数，N叫做真数，x叫做 “以a为底N的对数”。

　　2.1对数的表示及性质：

　　　　1.以a为底N的对数记作：log_aN

　　　　2.以10为底的常用对数：lgN    = log₁₀N

　　　　3.以无理数e（e=2.71828...）为底的自然对数记作：lnN  = log_eN

　　　　4.零没有对数.

　　　　5.在实数范围内，负数无对数。 [3]在虚数范围内，负数是有对数的。

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　　注： 自然对数的底数 e ：https://www.guokr.com/article/50264/

　　　　细胞分裂现象是不间断、连续的，每分每秒产生的新细胞，都会立即和母体一样继续分裂，一个单位时间(24小时)最多可以得到多少个细胞呢？答案是：

　　　　

　　　　当增长率为100%保持不变时，在单位时间内细胞种群最多只能扩大2.71828倍。 数学家把这个数就称为e，它的含义是单位时间内，持续的翻倍增长所能达到的极限值。

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3.对数函数

【3.1定义】

　　函数  叫做对数函数（logarithmic function），其中x是自变量。对数函数的定义域是  。

【3.2函数基本性质】

　　1、过定点  ，即x=1时，y=0。

　　2、当  时，在  上是减函数；

　　　　当  时，在  上是增函数。

 

4.对数运算法则(rule of logarithmic operations）

对数运算法则，是一种特殊的运算方法。指 积、商、幂、方根 的对数的运算法则

 由指数和对数的互相转化关系可得出:

1.两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数的和，即：

　　

2.两个正数商的对数，等于同一底数的被除数的对数减去除数对数的差，即：

　　

3一个正数幂的对数，等于幂的底数的对数乘以幂的指数，即：

　　

4.若式中幂指数则有以下的正数的算术根的对数运算法则:一个正数的算术根的对数，等于被开方数的对数除以根指数，即：

　　

5.推导

 5.对数公式

 5.1基本知识

 ①  ； 

②  ； 

③负数与零无对数. 

④  *  =1； 

⑤  ；

5.2恒等式及证明

a^log(a)(N)=N (a>0 ，a≠1）

对数公式运算的理解与推导by寻韵天下(8张)

 推导：log(a) (a^N)=N恒等式证明

在a>0且a≠1，N>0时

设：当log(a)(N)=t，满足(t∈R)

则有a^t=N;

a^(log(a)(N))=a^t=N;

证明完毕

 

 

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