渐进符号详解

1.渐近紧确界记号： Θ（big-theta）

  假设算法A的运行时间表达式T1​(n)为：T 1 ( n ) = 30 n^ 4 + 20 n ^3 + 40 n^ 2 + 46 n + 100
  假设算法B的运行时间表达式T2​(n)为：T 2 ( n ) = 1000 n 3 + 50 n 2 + 78 n + 10
当问题规模足够大的时候，例如n=100万，算法的运行时间将主要取决于时间表达式的第一项，其它项的执行时间只有它的几十万分之一，可以忽略不计。第一项的常数系数，随着n的增大，对算法的执行时间也变得不重要了。
  于是，算法A的运行时间可以记为：T 1 ( n ) ≈ n^ 4，记为T 1 ( n ) = Θ ( n ^4 )；算法B的运行时间可以记为：T2​(n)≈n^3，记为T 2 ( n ) = Θ ( n ^3 )。

  由下图中左侧f(n)=Θ(g(n))图可以看出，对所有n>n0​时，函数f(n)乘一个常量因子可等于g(n)，我们称g(n)是f(n)的一个 渐近紧确界 。Θ记号在五个记号中，要求是最严格的，因为g(n)即可以表示上界也可以表示下界。

  需要注意的是：Θ(g(n))的定义要求每个成员f(n)∈Θ(g(n))均 渐近非负，即当n足够大时，f(n)非负。 渐近正函数 就是对所有足够大的n均为正的函数。

2.渐近上界记号：O(big-oh)

定义：设f(n)和g(n)是定义域为自然数集N上的函数。若存在正数c和n0​，使得对一切n≥n0​都有0≤f(n)≤cg(n)成立，则称f(n)的渐进的上界是g(n)，记作f(n)=O(g(n))。通俗的说n满足一定条件范围内，函数f(n)的阶不高于函数g(n)。

  根据符号O的定义，用它评估算法的复杂度得到的只是问题规模充分大时的一个上界。这个上界的阶越低，评估越精确，越有价值。

几种常见的复杂度关系

符号用法测试：素数测试

int isprime(int n) {
    for(int i=2; i<=(int)sqrt(n); i++) {
        if(n%i==0) { 
            return0;
        }
    }
    return1;
}

在上面这个素数测试的例子中，基本运算是整除；时间复杂度T ( n ) = O ( n ^1 /2 ) 是正确的。当被测的数n为偶数时，基本运算一次也没执行，所以T ( n ) = Θ ( n ^1/ 2 ) 是错误的，因为没有办法证明T(n)的下界是Ω ( n^ 1 /2 )。

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3.渐近下界记号：Ω(big-omege)

  根据符号Ω的定义，用它评估算法的复杂度得到的只是问题规模充分大时的一个下界。这个下界的阶越高，评估越精确，越有价值。

显然，Ω(n^2)作为下界更为精确。

4.非渐近紧确上界：o(小-oh)

定义1：设f(n)和g(n)是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数c，都存在n_0，使得对一切n≥n_0都有0≤f(n)

由O记号提供的渐近上界可能是渐近紧确的，也可能是非紧确的。（如：2 n ^2 = O ( n ^2 )是渐近紧确的，而2n=O(n^2)是非紧确上界。）
例子：f(n)=n^2+n，则f ( n ) = o ( n ^3 ).

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5.非渐近紧确下界：ω(小-omege)

定义1：设f(n)和g(n)是定义域为自然数集N上的函数。若对于任意正数c，都存在n_0，使得对一切n≥n_0都有0≤cg(n)

ω记号与Ω的关系类似于o和O记号的关系。我们用ω表示一个非渐近紧确的下界。
例子：f(n)=n^2+n，则f(n)=ω(n)是正确的。f(n)=ω(n^2)则是错误的，f(n)=Ω(n^2)是正确的。

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6.渐近记号Θ、Ο、o、Ω、ω关系

记号	含义	通俗理解
(1)Θ（西塔）	紧确界。	相当于"="
(2)O （大欧）	上界。	相当于"<="
(3)o（小欧）	非紧的上界。	相当于"<"
(4)Ω（大欧米伽）	下界。	相当于">="
(5)ω（小欧米伽）	非紧的下界。	相当于">"

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7.习题练习

8.参考资料

1.算法导论  殷建平 译   机械工业出版社

2.计算机算法设计与分析习题解答 第二版  王晓东