NP完全性理论

 与NP相关的总共有四类问题：P问题、NP问题、NPC问题和NP hard问题，是计算复杂度理论中研究的主要内容之一。

 先介绍下多项式时间：在计算复杂度理论中，指的是一个问题的计算时间m(n)不大于问题大小n的多项式倍数。通俗点来说，多项式时间就是指时间复杂度是个多项式，或者说,就是这个程序运行的时间随着数据规模n变化的函数为f(n)，那么,f(n)是个多项式函数,那么就可以说是控制在多项式之内。举个例子，现在从n阶图中找两点的最短路径，复杂度为n^2级别（即O(n^2)，O是大写欧），而n^2对于n是多项式（单项式当然也算），这就称为是多项式复杂度，或者多项式时间，其中问题（算法）的规模是n。如果某一个算法的规模是n，但是复杂度比如是2^n，写不成n的多项式，那就不是多项式时间。

P类问题：所有可以在多项式时间内求解的判定问题构成P类问题。判定问题：判断是否有一种能够解决某一类问题的能行算法的研究课题。

NP类问题：所有的非确定性多项式时间可解的判定问题构成NP类问题。非确定性算法：非确定性算法将问题分解成猜测和验证两个阶段。算法的猜测阶段是非确定性的，算法的验证阶段是确定性的，它验证猜测阶段给出解的正确性。设算法A是解一个判定问题Q的非确定性算法，如果A的验证阶段能在多项式时间内完成，则称A是一个多项式时间非确定性算法。有些计算问题是确定性的，比如加减乘除之类，你只要按照公式推导，按部就班一步步来，就可以得到结果。但是，有些问题是无法按部就班直接地计算出来。比如，找大质数的问题。有没有一个公式，你一套公式，就可以一步步推算出来，下一个质数应该是多少呢？这样的公式是没有的。再比如，大的合数分解质因数的问题，有没有一个公式，把合数代进去，就直接可以算出，它的因子各自是多少？也没有这样的公式。这种问题的答案，是无法直接计算得到的，只能通过间接的“猜算”来得到结果。这也就是非确定性问题。而这些问题的通常有个算法，它不能直接告诉你答案是什么，但可以告诉你，某个可能的结果是正确的答案还是错误的。这个可以告诉你“猜算”的答案正确与否的算法，假如可以在多项式（polynomial）时间内算出来，就叫做多项式非确定性问题。

 NPC问题：NP中的某些问题的复杂性与整个类的复杂性相关联.这些问题中任何一个如果存在多项式时间的算法,那么所有NP问题都是多项式时间可解的.这些问题被称为NP-完全问题(NPC问题)。NPC包含了NP中最难的问题。解决了这个NPC问题。所有NP 问题都能够被解决了。

NPC问题相当广泛，包括来自操作系统（调度和安全）、数据库系统、运筹学、逻辑学、特别是图论等不同领域的问题。

可满足性问题、哈密顿圈问题、巡回售货员问题、最长路径问题都是NPC问题。 装箱(bin packing)问题、背包(knapsack)问题、图的着色(graph coloring)问题以及团(clique)的问题都是著名的NPC问题。NPC问题相当广泛，包括来自操作系统（调度和安全）、数据库系统、运筹学、逻辑学、特别是图论等不同领域的问题。

NP hard问题：Non-deterministic Polynomial hard problem(NPH)问题，如果所有NP问题可在多项式时间内转化（归约，意思是解决了后者也就相应的解决了前者）成某个问题，则该问题称为NP难问题。

这里规约的意思是将一个特殊问题一般化，即将原问题推广为一个最一般的、最有概括性、也更难的、计算复杂度更高的问题，这个问题具有最高的计算复杂度，如果这个最一般的问题也能有多项式时间求解算法，那么那些特殊的原问题也能有多项式时间求解算法。
解决了这个NP hard问题，所有NP问题都能够被解决了。

       以上四个问题之间的关系如下图所示：

    总结：

• P问题能够保证存在多项式时间求解算法；NP问题不确定是否存在多项式时间求解算法，但确定存在多项式时间验证算法。
•  P问题是NP问题的子集，因为存在多项式时间求解算法的问题，一定能够在多项式时间内被验证。
•  NP hard问题不一定是NP问题，有可能是不可判定问题。这时候说明原问题也是不可判定的。
•  NPC问题既是NP问题的子集，又是NP hard问题的子集，所以NPC问题是NP问题和NP hard问题的交集。
•  NP hard问题和NPC问题都要求能够在多项式时间内规约成另外一个问题。这里规约的意思是将一个特殊问题一般化，即将原问题推广为一个最一般的、最有概括性、也更难的、计算复杂度更高的问题，这个问题具有最高的计算复杂度，如果这个最一般的问题也能有多项式时间求解算法，那么那些特殊的原问题也能有多项式时间求解算法。
•  假设 N P = P 猜想不成立，那么计算复杂度的相对关系为（按照由低到高）：P <N P< N P C<N P h a r d 。
•  假设 N P = P 猜想成立，那么说明所有存在多项式时间验证算法的问题都存在多项式时间求解算法，而NPC本身属于NP问题，因此NPC也存在多项式时间求解算法，所以N P C = P ，所以 P = N P = N P C，属于NP hard问题的一个子集。

参考：https://blog.csdn.net/qq_29176963/article/details/82776543

          https://blog.csdn.net/liufeng_king/article/details/8475508?depth_1-

          https://blog.csdn.net/sinat_21591675/article/details/86521190?depth_1-