回溯法之旅行售货员问题

问题描述:

某售货员要到若干城市去推销商品，已知各城市之间的路程，他要选定一条从驻地出发，经过每个城市一遍，最后回到住地的路线，使总的路程最短。

算法描述：

回溯法，序列树， 假设起点为 1。

算法开始时 x = [1, 2, 3, ..., n]

x[1 : n]有两重含义 x[1 : i]代表前 i 步按顺序走过的城市， x[i + 1 : n]代表还未经过的城市。利用Swap函数进行交换位置。

若当前搜索的层次i = n 时，处在排列树的叶节点的父节点上，此时算法检查图G是否存在一条从顶点x[n-1] 到顶点x[n] 有一条边，和从顶点x[n] 到顶点x[1] 也有一条边。若这两条边都存在，则发现了一个旅行售货员的回路即：新旅行路线），算法判断这条回路的费用是否优于已经找到的当前最优回路的费用bestcost，若是，则更新当前最优值bestcost和当前最优解bestx。

若i < n 时，检查x[i - 1]至x[i]之间是否存在一条边, 若存在，则x [1 : i ] 构成了图G的一条路径，若路径x[1: i] 的耗费小于当前最优解的耗费，则算法进入排列树下一层，否则剪掉相应的子树。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int max_ = 0x3f3f3f;
const int NoEdge = -1;
int citynum;
int edgenum;
int currentcost;
int bestcost;
int Graph[100][100];
int x[100];
int bestx[100];
void InPut()
{
    int pos1, pos2, len;
    scanf("%d %d", &citynum, &edgenum);
    memset(Graph, NoEdge, sizeof(Graph));
    for(int i = 1; i <= edgenum; ++i)
    {
        scanf("%d %d %d", &pos1, &pos2, &len);
        Graph[pos1][pos2] = Graph[pos2][pos1] = len;
    }
}
void Initilize()
{
    currentcost = 0;
    bestcost = max_;
    for(int i = 1; i <= citynum; ++i)
    {
        x[i] = i;
    }
}
void Swap(int &a, int &b)
{
    int temp;
    temp = a;
    a = b;
    b = temp;
}
void BackTrack(int i) //这里的i代表第i步去的城市而不是代号为i的城市
{
    if(i == citynum)
    {
        if(Graph[x[i - 1]][x[i]] != NoEdge && Graph[x[i]][x[1]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]] < bestcost || bestcost == max_))
        {
            bestcost = currentcost + Graph[x[i - 1]][x[i]] + Graph[x[i]][x[1]];
            for(int j = 1; j <= citynum; ++j)
                bestx[j] = x[j];
        }
    }
    else
    {
        for(int j =  i; j <= citynum; ++j)
        {
            if(Graph[x[i - 1]][x[j]] != NoEdge && (currentcost + Graph[x[i - 1]][x[j]] < bestcost || bestcost == max_))
            {
                Swap(x[i], x[j]);  //这里i 和 j的位置交换了, 所以下面的是currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]];
                currentcost += Graph[x[i - 1]][x[i]];
                BackTrack(i + 1);
                currentcost -= Graph[x[i - 1]][x[i]];
                Swap(x[i], x[j]);
            }
        }
    }
}
void OutPut()
{
    cout << "路线为:" << endl;
    for(int i = 1; i <= citynum; ++i)
        cout << bestx[i] << " ";
    cout << "1" << endl;
}
int main()
{
    InPut();
    Initilize();
    BackTrack(2);
    OutPut();
}

测试样例：

实现结果：

 参考：王晓东《算法设计与分析》

             https://blog.csdn.net/m0_38015368/article/details/80215466