回溯法之n皇后问题
1.问题描述
以八皇后为例进行问题描述:
八皇后问题,是一个古老而著名的问题,是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出:在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后,使其不能互相攻击,即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上,问有多少种摆法。
图解回溯法解八皇后问题:
下面用N皇后问题来具体解释:
N皇后问题
从空棋盘开始,把皇后1放在第一行第一列。然后放皇后2,1、2列尝试失败,把它放在第三个位置,即格子(2,3),但是这被证明是一个死胡同,因为皇后三将无位置可以放,因此皇后2回溯到(2,4),这样皇后3可以放到(3,2),但是这又是另一个死胡同。就这样不断的向下试探,不行就回溯到上层,直到找到最终的完整解。以下给出4皇后的状态空间树:
由以上分析不难得出若两个皇后位置分别是(i,j)和(k,l),且i-j=k-l或i+k=j+l,则说明这两个皇后处于同一斜线上。以上2个方程分别等价于i-k=j-l和i-k=l-j.由此可知只要|i-k|=| j-l|成立,就表明2个皇后位于同一斜线上。
2.算法设计
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
1、使用一个一维数组表示皇后的位置, 其中数组的下标表示皇后所在的行, 数组元素的值表示皇后所在的列。 2、假设前n-1行的皇后已经按照规则排列好, 那么可以使用回溯法逐个试出第n行皇后的合法位置, 所有皇后的初始位置都是第0列, 那么逐个尝试就是从0试到N-1, 如果达到N,仍未找到合法位置, 那么就置当前行的皇后的位置为初始位置0, 然后回退一行,且该行的皇后的位置加1,继续尝试, 如果目前处于第0行,还要再回退,说明此问题已再无解。 3、如果当前行的皇后的位置还是在0到N-1的合法范围内, 那么首先要判断该行的皇后是否与前几行的皇后互相冲突, 如果冲突,该行的皇后的位置加1,继续尝试, 如果不冲突,判断下一行的皇后, 如果已经是最后一行,说明已经找到一个解,输出这个解, 然后最后一行的皇后的位置加1,继续尝试下一个解。
3.代码实现
![](https://images.cnblogs.com/OutliningIndicators/ContractedBlock.gif)
#include <stdio.h> int Queenes[8]={0},Counts=0; int Check(int line,int list){ //遍历该行之前的所有行 for (int index=0; index<line; index++) { //挨个取出前面行中皇后所在位置的列坐标 int data=Queenes[index]; //如果在同一列,该位置不能放 if (list==data) { return 0; } //如果当前位置的斜上方有皇后,在一条斜线上,也不行 if ((index+data)==(line+list)) { return 0; } //如果当前位置的斜下方有皇后,在一条斜线上,也不行 if ((index-data)==(line-list)) { return 0; } } //如果以上情况都不是,当前位置就可以放皇后 return 1; } //输出语句 void print() { for (int line = 0; line < 8; line++) { int list; for (list = 0; list < Queenes[line]; list++) printf("0"); printf("#"); for (list = Queenes[line] + 1; list < 8; list++){ printf("0"); } printf("\n"); } printf("================\n"); } void eight_queen(int line){ //在数组中为0-7列 for (int list=0; list<8; list++) { //对于固定的行列,检查是否和之前的皇后位置冲突 if (Check(line, list)) { //不冲突,以行为下标的数组位置记录列数 Queenes[line]=list; //如果最后一样也不冲突,证明为一个正确的摆法 if (line==7) { //统计摆法的Counts加1 Counts++; //输出这个摆法 print(); //每次成功,都要将数组重归为0 Queenes[line]=0; return; } //继续判断下一样皇后的摆法,递归 eight_queen(line+1); //不管成功失败,该位置都要重新归0,以便重复使用。 Queenes[line]=0; } } } int main() { //调用回溯函数,参数0表示从棋盘的第一行开始判断 eight_queen(0); printf("摆放的方式有%d种",Counts); return 0; }
4.实现结果
参考:王晓东《算法设计与分析》第二版
https://blog.csdn.net/sinat_33052719/article/details/51447531
https://blog.csdn.net/yuer_xiao/article/details/82714734?depth_1-