回溯法

1. 简单概述

       回溯法思路的简单描述是：把问题的解空间转化成了图或者树的结构表示，然后使用深度优先搜索策略进行遍历，遍历的过程中记录和寻找所有可行解或者最优解。

基本思想类同于： 

• 图的深度优先搜索
• 二叉树的后序遍历

      【  分支限界法：广度优先搜索

         思想类同于：图的广度优先遍历

                                二叉树的层序遍历

      】

2. 详细描述

        详细的描述则为：

        回溯法按深度优先策略搜索问题的解空间树。首先从根节点出发搜索解空间树，当算法搜索至解空间树的某一节点时，先利用剪枝函数判断该节点是否可行（即能得到问题的解）。如果不可行，则跳过对该节点为根的子树的搜索，逐层向其祖先节点回溯；否则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。

        回溯法的基本行为是搜索，搜索过程使用剪枝函数来为了避免无效的搜索。剪枝函数包括两类：1. 使用约束函数，在扩展结点处剪去不满足约束条件的子树；2.使用限界函数，剪去不能得到最优解的子树。这两种方法统称为剪枝函数。

        问题的关键在于如何定义问题的解空间，转化成树（即解空间树）。解空间树分为两种：子集树和排列树。两种在算法结构和思路上大体相同。

3. 回溯法应用（具体应用见后续博客）

       当问题是要求满足某种性质（约束条件）的所有解或最优解时，往往使用回溯法。

       它有“通用解题法”之美誉，可以系统的搜索问题的所有解。

       回溯法是一个既带有系统性又带有跳跃性的搜索算法，适用于求解组合数较大的问题。

4. 回溯法解题步骤

（1）针对所给问题，确定问题的解空间：

            首先应明确定义问题的解空间，问题的解空间应至少包含问题的一个（最优）解。

    （2）确定结点的扩展搜索规则

    （3）以深度优先方式搜索解空间，并在搜索过程中用剪枝函数避免无效搜索。

5. 回溯法实现 - 递归和递推（迭代）      

回溯法的实现方法有两种：递归和递推（也称迭代）。一般来说，一个问题两种方法都可以实现，只是在算法效率和设计复杂度上有区别。
      【类比于图深度遍历的递归实现和非递归（递推）实现】

 递归实现

        思路简单，设计容易，但效率低，其设计范式如下：

//针对N叉树的递归回溯方法  
void backtrack (int t)  
{  
    if (t>n) output(x); //叶子节点，输出结果，x是可行解  
    else  
       for i = 1 to k//当前节点的所有子节点  
        {  
            x[t]=value(i); //每个子节点的值赋值给x  
            //满足约束条件和限界条件  
          if (constraint(t)&&bound(t))   
                backtrack(t+1);  //递归下一层  
        }  
}  

    递推实现

      算法设计相对复杂，但效率高。

//针对N叉树的迭代回溯方法  
void iterativeBacktrack ()  
{  
    int t=1;  
    while (t>0) {  
        if(ExistSubNode(t)) //当前节点的存在子节点  
        {  
            for i = 1 to k  //遍历当前节点的所有子节点  
            {  
                x[t]=value(i);//每个子节点的值赋值给x  
                if (constraint(t)&&bound(t))//满足约束条件和限界条件   
                {  
                    //solution表示在节点t处得到了一个解  
                    if (solution(t)) output(x);//得到问题的一个可行解，输出  
                    else t++;//没有得到解，继续向下搜索  
                }  
            }  
        }  
        else //不存在子节点，返回上一层  
        {  
            t--;  
        }  
    }  
}  

6. 子集树和排列树   

1. 子集树

       所给的问题是从n个元素的集合S中找出S满足某种性质的子集时，相应的解空间成为子集树。
       如0-1背包问题，从所给重量、价值不同的物品中挑选几个物品放入背包，使得在满足背包不超重的情况下，背包内物品价值最大。它的解空间就是一个典型的子集树。

       回溯法搜索子集树的算法描述如下：

void backtrack (int t)  
{  
  if (t>n) output(x);  
    else  
      for (int i=0;i<=1;i++) {  
        x[t]=i;  
        if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
      }  
} 

2. 排列树

      所给的问题是确定n个元素满足某种性质的排列时，相应的解空间就是排列树。
      如旅行售货员问题，一个售货员把几个城市旅行一遍，要求走的路程最小。它的解就是几个城市的排列，解空间就是排列树。
      回溯法搜索排列树的算法范式如下：

void backtrack (int t)  
{  
  if (t>n) output(x);  
    else  
      for (int i=t;i<=n;i++) {  
        swap(x[t], x[i]);  
        if (constraint(t)&&bound(t)) backtrack(t+1);  
        swap(x[t], x[i]);  
      }  
}   
  

参考资料：王晓东《算法设计与分析》第二版

                 CSDN：https://blog.csdn.net/weiyuefei/article/details/79316653（个人觉得总结的比较全面）