希尔伯特空间

欧几里得空间,希尔伯特空间,巴拿赫空间或者是拓扑空间都属于函数空间。函数空间 = 元素 + 规则 ,即一个函数空间由元素 与元素所满足的规则 定义,而要明白这些函数空间的定义首先得从距离,范数,内积,完备性等基本概念说起。

   1、度量空间:定义了距离的空间。

具体的距离:实际上距离除了我们经常用到的直线距离外,还有向量距离, 函数距离、 曲面距离、折线距离等等。

距离就是一个抽象的概念,其定义为:
设X是任一非空集,对X中任意两点x,y,有一实数d(x,y)与之对应且满足:
1. d(x,y) ≥0,且d(x,y)=0当且仅当x=y;
2. d(x,y)=d(y,x);
3. d(x,y) ≤d(x,z)+d(z,y)。欧几里
称d(x,y)为X中的一个距离。

2、线性空间、向量空间

定义了距离后,我们再加上线性结构,如向量的加法、数乘,使其满足加法的交换律、结合律、零元、负元;数乘的交换律、单位一;数乘与加法的结合律(两个)共八点要求,从而形成一个线性空间,这个线性空间就是向量空间

3、赋范空间

定义了范数,是绝对值(形式|a-b|)的延伸,是对向量、函数和矩阵定义的一种距离度量形式,如距离D(a,b)=||a−b||。

在向量空间中,我们定义了范数的概念,表示某点到空间零点的距离:
1. ||x|| ≥0;
2. ||ax||=|a|||x||;
3. ||x+y||≤||x||+||y||。

将范数与距离比较,可知,范数比距离多了一个条件2,数乘的运算,表明其是一个强化了的距离概念。范数与距离的关系可以类似理解为与红富士苹果与苹果的关系。

接下来对范数和距离进行扩展,形成如下:
范数的集合⟶ 赋范空间 +线性结构⟶线性赋范空间
距离的集合⟶ 度量空间 +线性结构⟶线性度量空间

4、内积空间、欧氏空间

下面在已经构成的线性赋范空间上继续扩展,添加内积运算,使空间中有角的概念,形成如下:
线性赋范空间+内积运算⟶ 内积空间;
这时的内积空间已经有了距离、长度、角度等,有限维的内积空间也就是我们熟悉的欧氏空间

什么是欧几里得空间?

古希腊数学家欧几里得创建了距离和角之间联系的法则——欧几里得几何,由二维平面几何可扩展成三维,再到有限维度抽象几何空间,称为欧几里得空间。其中维度是描述空间内一个点所需参量的个数——坐标数,例如三维空间中的点a=(x1,x2,x3)。

若把人的活动约束在学校,那么就是学校空间,同理,对点和几何结构进行各种约束,就构成了不同的数学空间。

至此,在各种约束条件下,有限维度+度量+线性+范数+内积=欧几里得空间。看似复杂的定义,其实就是一种约束的空间。

5、希尔伯特空间

继续在内积空间上扩展,使得内积空间满足完备性,形成希尔伯特空间如下:
内积空间+完备性⟶ 希尔伯特空间
当欧几里德空间不再局限于有限维,就是希尔伯特空间——无限维度完备线性内积空间。完备指的是,空间中的极限运算衍生的所有可能点都包含于空间本身——柯西序列等价于收敛序列,简言之,合理即存在。

无限维度的向量(x1,x2,x3...xn)意味着有任意个独立坐标,可以用函数表达,两个无限维度的向量的内积等价于两个函数的积分。例如傅里叶变换,一种频率函数对应一个坐标,时域中每个点都可以在频域中展开成各种频率的函数。如此一来,欧几里得空间就演变成希尔伯特空间。

6、巴拿赫空间

此外,前面提到的赋范空间,使其满足完备性,扩展形成巴拿赫空间如下:
赋范空间+完备性⟶ 巴拿赫空间

以上均是在距离的概念上进行添加约束形成的,递增关系如下:

距离⟶范数⟶内积 
向量空间+范数⟶ 赋范空间+线性结构⟶线性赋范空间+内积运算⟶内积空间+完备性⟶希尔伯特空间 
内积空间+有限维⟶欧几里德空间 
赋范空间+完备性⟶巴拿赫空间

顺便提以下,对距离进行弱化,保留距离的极限和连续概念,就形成拓扑的概念。

参考:https://blog.csdn.net/weixin_36811328/article/details/81207753&希尔伯特空间,数学空间的神秘之地

posted @ 2020-10-19 17:26  Chen洋  阅读(1873)  评论(0编辑  收藏  举报