算法很美 笔记 12.图结构
12.图结构
1. 图基础
定义和基本术语
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图(graph)是一种网状数据结构，图是由非空的顶点集合和一个描述顶点之间关系的集合组成。
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图由顶点和边组成，顶点表示对象，,边表示两个对象间的连接关系。
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图大体分两种，边没有指向性的叫无向图，边具有指向性的叫有向图。
- 边可以带权值，称为带权图。
无向图术语
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两个顶点之间如果有边连接,视为两个顶点相邻
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相邻顶点的序列称为路径
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起点和终点重合的路径称为圈，特殊路径
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任意两点之间都存在路径连接的图称为连通图
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顶点连接的边数叫做这个顶点的度
树与图
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没有圈的连通图，就是树
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没有圈的非连通图，就是森林
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一棵树的边数等于顶点数-1
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边数等于顶点数-1的连通图，就是树
有向图的术语
- 没有圈的有向图，叫做DAG (Directed Acyclic Graph,有向无环图）
- 拓扑排序定义:将DAG中的顶点以线性方式进行排序。即对于任何自顶点u到顶点v的有向边u->v ,在最后的排序结果中，顶点u总是在顶点v的前面。这样的排序结果，称为拓扑序。
2. 图的表示
邻接矩阵(adjacency matrix )
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无向图的邻接矩阵是对称矩阵，有向时不一定;
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不带权时用1/0表示是否有边;带权时，数值就是权值
邻接表(adjacency list)
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邻接表更加节约空间
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但是，查询两点是否有边需遍历链表
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而且，保存权值需要另外存储一个边集
3. dfs及相关问题
题1:四连通检测
给定一个方阵，定义连通：上下左右相邻，并且值相同。可以想象成一张地图，不同的区域被涂以不同颜色。
输入：整数N, (N<50)表示矩阵的行列数，接下来N行，每行N个字符，代表方阵中的元素，接下来一个整数M，(M<1000)表示询问数接下来M行，每行代表一个询问，格式为4个整数，y1,x1,y2,x2，表示询问(第y1行,第x1列) 与 (第y2行,第x2列) 是否连通。连通输出true，否则false
输入:
10
0010000000
0011100000
0000111110
0001100010
1111010010
0000010010
0000010011
0111111000
0000010000
0000000000
3
0 0 9 9
0 2 6 8
4 4 4 6
输出：
false
true
true
public class 图的dfs_连通检测 {
public static void main(String[] args) {
Scanner scanner = new Scanner(System.in);
int N = scanner.nextInt();
scanner.nextLine();
char[][] graph = new char[N][N];
for (int i = 0; i < N; i++) {
graph[i] = scanner.nextLine().toCharArray();
}
int M = scanner.nextInt();
int[][] query = new int[M][4];
for (int i = 0; i < M; i++) {
for (int j = 0; j < 4; j++) {
query[i][j] = scanner.nextInt();
}
}
// M个起点和终点
for (int i = 0; i < M; i++) {
//对每个起点和终点，检查是否连通
boolean ok = check(graph, new int[N][N], query[i]);
System.out.println(ok);
}
}
/**
* 检查两个坐标点在这个图中是否连通
* @param graph 原始图
* @param label 标记
* @param points 起点和终点的坐标 x1 y1 x2 y2
* @return
*/
private static boolean check(char[][] graph, int[][] label, int[] points) {
int x1 = points[0];
int y1 = points[1];
int x2 = points[2];
int y2 = points[3];
//起点和终点重合了，就可以返回true
if (x1 == x2 && y1 == y2) {
return true;
}
int value = graph[x1][y1];
boolean f1 = false;
boolean f2 = false;
boolean f3 = false;
boolean f4 = false;
//往左走，1.不能走出去，2.左边的位置没有被访问过，3.左边位置上的值要和现在的值相同
if (x1 - 1 >= 0 && label[x1 - 1][y1] == 0 && graph[x1 - 1][y1] == value) {
label[x1 - 1][y1] = 1; // 坐标的位置标记为已访问
points[0] = x1 - 1; // 把左边的点作为新起点，递归
f1 = check(graph, label, points);
//回溯
label[x1 - 1][y1] = 0;
points[0] = x1;
}
//往右走
if (x1 + 1 < graph.length && label[x1 + 1][y1] == 0 && graph[x1 + 1][y1] == value) {
label[x1 + 1][y1] = 1;
points[0] = x1 + 1;
f2 = check(graph, label, points);
label[x1 + 1][y1] = 0;
points[0] = x1;
}
//往上走
if (y1 - 1 >= 0 && label[x1][y1 - 1] == 0 && graph[x1][y1 - 1] == value) {
label[x1][y1 - 1] = 1;
points[1] = y1 - 1;
f3 = check(graph, label, points);
label[x1][y1 - 1] = 0;
points[1] = y1;
}
//往下走
if (y1 + 1 < graph.length && label[x1][y1 + 1] == 0 && graph[x1][y1 + 1] == value) {
label[x1][y1 + 1] = 1;
points[1] = y1 + 1;
f4 = check(graph, label, points);
label[x1][y1 + 1] = 0;
points[1] = y1;
}
return f1 || f2 || f3 || f4;
}
}
