组合数学基础

隔板法

\(X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=0\)
\(求方程解的个数\)
\(m个球插入n-1个板将m个球分成n份\)
\(方程解的个数(^{n+m-1}_{m})\)

---

如果要求每份球的个数都大于1该怎么做？
\(X_1+X_2+...+X_n=m,\quad X_i>=1\)
\(求方程解的个数\)
\(令 X^{'} = X_1-1,X^{'}>=0,\)
\(X_1+X_2+...+X_n=m-n,\quad X_i^{'}>=0\)
\(方程解的个数(^{m-n+n-1}_{n-1})=(^{m-1}_{n-1})\)
直观上将，我们可以直接先将每份里面都放一个球，然后再按上面的没有限制条件的做
\(也可以这样理解m个球之间有m-1个空，在这m-1个空里插入n-1个隔板\)

---