组合数学基础

隔板法

$X_1+X_2+...+X_n=m,X_i>=0$
$\mathrm{求}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{解}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}$
$m\mathrm{个}\mathrm{球}\mathrm{插}\mathrm{入}n-1\mathrm{个}\mathrm{板}\mathrm{将}m\mathrm{个}\mathrm{球}\mathrm{分}\mathrm{成}n\mathrm{份}$
$\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{解}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}{(}_m^{n+m-1})$

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如果要求每份球的个数都大于1该怎么做？
$X_1+X_2+...+X_n=m,X_i>=1$
$\mathrm{求}\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{解}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}$
$\mathrm{令}{X}^{{}^{\prime }}=X_1-1,X^{{}^{\prime }}>=0,$
$X_1+X_2+...+X_n=m-n,X_i^{{}^{\prime }}>=0$
$\mathrm{方}\mathrm{程}\mathrm{解}\mathrm{的}\mathrm{个}\mathrm{数}{(}_{n-1}^{m-n+n-1})={(}_{n-1}^{m-1})$
直观上将，我们可以直接先将每份里面都放一个球，然后再按上面的没有限制条件的做
$\mathrm{也}\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{这}\mathrm{样}\mathrm{理}\mathrm{解}m\mathrm{个}\mathrm{球}\mathrm{之}\mathrm{间}\mathrm{有}m-1\mathrm{个}\mathrm{空}，\mathrm{在}\mathrm{这}m-1\mathrm{个}\mathrm{空}\mathrm{里}\mathrm{插}\mathrm{入}n-1\mathrm{个}\mathrm{隔}\mathrm{板}$

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