基础数论

目录

• 质数
  • 质因数分解
• 约数
  • $gcd$求最大公约数

质数

质因数分解

算术基本定理：
$\mathrm{任}\mathrm{何}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{大}\mathrm{于}1\mathrm{的}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}\mathrm{都}\mathrm{能}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{分}\mathrm{解}\mathrm{为}\mathrm{有}\mathrm{限}\mathrm{个}\mathrm{质}\mathrm{数}\mathrm{的}\mathrm{乘}\mathrm{积}，\mathrm{可}\mathrm{以}\mathrm{写}\mathrm{作}：$

$$N=p_1^{c_1}{p}_2^{c_2}...p_m^{c_m}$$

$\mathrm{其}\mathrm{中}{c}_i\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{正}\mathrm{整}\mathrm{数}，p_i\mathrm{都}\mathrm{是}\mathrm{质}\mathrm{数}，\mathrm{且}\mathrm{满}\mathrm{足}{p}_1<p_2<...<p_m$

int primes[N], cnt[N], m;
void divide(int n)
{
	rep(i,2,n/i)
	{
		if(n%i==0)	primes[++m]=i;
		while(n%i==0)
		{
			n/=i;
			cnt[m]++;
		}
	}
	if(n>1)	
	{
		primes[++m]=n;
		cnt[m]=1;
	}
}

哪个if是不是多余？
并不是的之前我感觉那个if是多余的，直接用map去存可以省掉哪个if但是用map去存复杂度就变成了$O(logn)$

约数

$gcd$求最大公约数

$gcd\mathrm{求}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{公}\mathrm{约}\mathrm{数}\mathrm{主}\mathrm{要}\mathrm{用}\mathrm{到}\mathrm{一}\mathrm{个}\mathrm{定}\mathrm{理}$

$$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$$

下面证明该定理：
首先需要引入一些数论中用于证明的基本知识：
$1.d|a\mathrm{且}d>=0:d\mathrm{是}a\mathrm{的}\mathrm{约}\mathrm{数}$
$2.\mathrm{除}\mathrm{法}\mathrm{定}\mathrm{理}：\mathrm{对}\mathrm{于}\mathrm{任}\mathrm{何}\mathrm{整}\mathrm{数}a\mathrm{和}\mathrm{任}\mathrm{何}\mathrm{整}\mathrm{数}，\mathrm{存}\mathrm{在}\mathrm{唯}\mathrm{一}\mathrm{整}\mathrm{数}r\mathrm{和}q，\mathrm{满}\mathrm{足}0<=r<n$
$a=qn+r$
$q\mathrm{为}\mathrm{商}q=\lceil {\displaystyle \frac{a}{n}}\rceil r\mathrm{为}\mathrm{余}\mathrm{数}，r=amodn$
$n|a\mathrm{当}\mathrm{且}\mathrm{仅}\mathrm{当}r=amodn=0$
$3.d|a\mathrm{并}\mathrm{且}d|y\Rightarrow d|(ax+by)\mathrm{并}\mathrm{且}d|gcd(a,b)，\mathrm{因}\mathrm{为}gcd(a,b)\mathrm{是}\mathrm{最}\mathrm{大}\mathrm{的}\mathrm{约}\mathrm{数}$
证明：
如果能证明$gcd(a,b)|gcd(b,a\mathrm{\%}b)\mathrm{并}\mathrm{且}gcd(b,a\mathrm{\%}b)|gcd(a,b)$
$\mathrm{那}\mathrm{么}gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$
$\mathrm{令}q=gcd(a,b),p=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$
$q=gcd(a,b)\Rightarrow q|a\mathrm{且}q|b\Rightarrow q|(ax+by)$
$a\mathrm{\%}b=a-kb\Rightarrow gcd(b,a\mathrm{\%}b)=gcd(b,a-kb)\Rightarrow q|gcd(b,a\mathrm{\%}b)$
$gcd(a,b)|gcd(b,a\mathrm{\%}b)\mathrm{得}\mathrm{证}$
$\mathrm{下}\mathrm{面}\mathrm{只}\mathrm{需}\mathrm{要}\mathrm{证}\mathrm{明}gcd(b,a\mathrm{\%}b)|gcd(a,b)\mathrm{即}\mathrm{可}$
$p|(xb+y(a-kb))\Rightarrow p|(ay+(x-k)b)\Rightarrow p|a\mathrm{并}\mathrm{且}p|b$
$p|a\mathrm{并}\mathrm{且}p|b\Rightarrow p|gcd(a,b)\Rightarrow gcd(b,a\mathrm{\%}b)|gcd(a,b)$

$$\mathrm{至}\mathrm{此}gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)\mathrm{得}\mathrm{证}$$

int gcd(int a, int b)
{
	return b?gcd(b,a%b):a;
}

未完待续......