编译原理-语法分析-自上而下分析

语法分析器的功能

语法分析器是编译过程的核心部分。任务是在词法分析识别出的单词符号串的基础上，分析并判定程序的语法结构是否符合语法规则。

自上而下分析面临的问题

左递归： $p - > p α | β$ :会使程序陷入死循环，导致不可实现
回溯：试探法就是穷举所有可能，一旦遇到不匹配就进行回溯，尝试下一种可能，这种方法只在理论上有意义，由于回溯穷举时间开销巨大所以不太具有实践意义。

LL（1）分析法

左递归的消除

直接左递归

直接左递归的形式： $p - > p α | β$ $β$ 不以 $p$ 开头
这个推导：

p => p α => p α α => . . . => β α . . . . α

从这个推到我们可以看出 $p$ 推出的串是以 $β$ 后面跟着若干个 $α$ 组成的串
这样我没对这个串做等价变换：

p - > β p^{'}

p^{'} - > α p^{'} | ϵ

我们可以验证这个文法是不是和上面左递归形式的文法等价，我们对这个文法做推导看看会推导出哪些串

p => β p^{'} => β α p^{'} => . . . => β α . . . α

我们得到的串同样是以 $β$ 开头后面接跟着若干个 $α$ 的串
我们对上面的结论进行推广：
对于P的全部产生式是

P - > P α_{1} | P α_{2} | . . . | P α_{m} | β_{1} | β_{2} | . . . | β_{n}, 其 中 每 个 α 都 不 以 ϵ 开 头, 每 个 β 都 不 以 P 开 头

我们直接进行右递归改造：

P - > β_{1} P^{'} | β_{2} P^{'} ‖ . . . | b e t a_{n} P^{'}

P^{'} - > α_{1} P^{'} | α_{2} P^{'} | . . . | α_{m} P^{'}

例子：
$E - > E + T | T$
$T - > T * F | F$
$F - > (E) | i$
对于第一个式子有直接左递归我们进行消除，首先第一个式子最终的推导串是以 $T$ 开头后面若干个{+T}我们进行等价变换： $E - > T E^{'}$ $E^{'} - > + T E^{'} | ϵ$
对于第二个式子也是直接左递归的我们也需要进行消除，首先第二个式子最终推导出的串的形式下以 $F$ 开头后面若干个*F，我们根据这个进行等价变换
$T - > F T^{'}$
$T^{'} * F T^{'} | ϵ$
最后一个式子没有直接左递归不用进行处理

非直接左递归

文 法 G (S)

S - > Q c | c

Q - > R b | b

R - > S a | a

形式上这个文法并没有直接左递归，但是实际上这个文法是左递归的，进行如下推导就可以看出

S => Q c => R b c => S a b c

消除左递归的算法

1.把文法G的所有非终结符按任意一种顺序排列成 $P_{1} P_{2}, . . ., P_{n}$ 按此顺序执行
2.
$F O R i := 1 T O n D O$
$B E G I N$
$F O R j := 1 T O i - 1 D O$
$把形如 P_{i} - > P_{j} γ 的规则改写成， P_{i} - > δ_{1} γ | δ_{2} γ | . . . | δ_{k} γ (其中 P_{j} - > δ_{1} | δ_{2} | . . . | δ_{k} 是关于 P_{j} 的所有规则)$

消除回溯、提左因子

FIRST

为了消除回溯，我们首先需要引入两个概念一个是FIRST集一个是FOLLW集
FIRST:
零G是一个不含左递归的文法，对G的所有非终结符的每一个候选 $α$ 定义它的终结首符集 $F I R S T (α)$

那么当要求A匹配输入串时，A就能根据它所面临的第一个输入符号a，准确地指派某一个候选前去。这个候选就是那个首符集含 $a$ 的 $α$

提左因子

很多文法都存在不满足所有候选式的终结首符集不两两相交的。我们采用提取公共左因子的办法
假设关于A的规则是:

A \to δ β_{1} | δ β_{2} | . . . | δ β_{n} | γ_{1} | γ_{2} | . . . | γ_{m}, (其 中, 每 个 γ 不 以 δ 开 头)

那么可以把这些规则改写成

A \to δ A^{'} | γ_{1} | γ_{2} | . . . | γ_{m}

A^{'} \to β_{1} | β_{2} | . . . | β_{n}

经过上面反复提取左因子，我们一定可以将一个非终结符的所有候选式的FIRST集两两不相交

FOLLOW集

消除左递归后的文法

E \to T E^{'}

E^{'} \to + T E^{'} | ϵ

T \to F T^{'}

T^{'} \to * F T^{'} | ϵ

F \to (E) | i

我们对 $i + i$ 进行至上而下的语法分析

当我们进行到这个地方的时候我们发现 $T^{'} 有两个候选式 T^{'} \to * F T^{'} | ϵ ，但是 * 不能和 + 匹配，另一个候选式是 ϵ, 这时我们不能选择 * F T^{'} 去扩展，只能选择 ϵ$
可以看到当候选式有 $ϵ$ 时，会对我们的分析产生困难，如何消除这个困难呢？什么时候才能用 $ϵ$ 去扩展呢？
这里我们就引入了 $F O L L O W 集$

LL(1)的分析条件

LL(1)文法

文法不含左递归
对文法中每一个非终结符A的各个产生式的候选终结首符集两两不相交，

A \to α_{1} | α_{2} | . . . | α_{n}

则 F I R S T (α_{i}) \cap F I R S T (α_{j}) = \emptyset

对文法中的每个非终结符A，若它存在某个候选首符集包含 $ϵ$

F I R S T (A) \cap F O L L W O (A)

对于一个LL(1)文法，我们可以对输入串进行有效的无回溯的至上而下分析，假设我们要用非终结符 $A 做匹配，面临的输入符号为 α, A$ 的所有产生式为：

A \to α_{1} | α_{2} | . . . | α_{n}

若 $a \in F I R S T (α_{i}) 则指派 α_{i}$ 匹配
若 $a$ 不属于任何一个候选首符集，则：
1. 若 $ϵ \in F I R S T (α_{i}) 并且 a \in F O L L O W (A) 则让 A 与 ϵ 自动匹配$
2. 否则a的出现是一种语法错误

构造FIRST和FOLLOW集合

构造每个文法符号的FIRST集合

对每一文法符号 $X \in V_{T} \cup V_{N} 构造 F I R S T (X)$
连续使用下面几条规则，直到每个FIRST集合不再增大为止

若 $X \in V_{T} 则 F I R S T (X) = X$
若 $X \in V_{N} 且有产生式 X \to a . . ., 则把 a 加入到 F I R S T (X) 中；若 X \to ϵ 也是一条产生式，则把 ϵ 也加入 F I R S T (X)$
若 $X \to Y 且 Y \in V_{N}, 则把 F I R S T (Y) 中的所有非 ϵ 元素加入到 F I R S T (X) 中$

构造FOLLOW集合

再回顾一遍FOLLOW集合的定义:

F O L L O W (A) = {a | S \Rightarrow . . . A a . . ., a \in V_{T}}

对于文法G的每个非终结符A构造FOLLOW(A),连续使用下面的规则，直至每个FOLLOW不再增大为止

对于文法的开始符号 $S, 置 # 于 F O L L O W (S) 中$
若 $A \to α B β 是一个产生式，则把 F I R S T (β) | ϵ 加至 F O L L O W (B) 中$
若 $A \to α B 是一个产生式，或 A \to α B β 是一个产生式，但 β \Rightarrow ϵ$ 则把 $F O L L O W (A) 加入到 F O L L O W (B)$