编译原理-语法分析-自上而下分析

语法分析器的功能

语法分析器是编译过程的核心部分。任务是在词法分析识别出的单词符号串的基础上，分析并判定程序的语法结构是否符合语法规则。

自上而下分析面临的问题

左递归：${p}->{p}{\alpha}|{\beta}$:会使程序陷入死循环，导致不可实现
回溯：试探法就是穷举所有可能，一旦遇到不匹配就进行回溯，尝试下一种可能，这种方法只在理论上有意义，由于回溯穷举时间开销巨大所以不太具有实践意义。

LL（1）分析法

左递归的消除

直接左递归

直接左递归的形式：$${p}->{p\alpha}|{\beta}$$ ${\beta}$不以${p}$开头
这个推导：

\[{p => p\alpha => p\alpha\alpha => ... => \beta\alpha....\alpha} \]

从这个推到我们可以看出${p}$推出的串是以${\beta}$后面跟着若干个${\alpha}$组成的串
这样我没对这个串做等价变换：

\[{p->\beta p'} \]

\[{p'->\alpha p'|\epsilon} \]

我们可以验证这个文法是不是和上面左递归形式的文法等价，我们对这个文法做推导看看会推导出哪些串

\[{p => \beta p' => \beta \alpha p' => ... => \beta \alpha ...\alpha} \]

我们得到的串同样是以${\beta}$开头后面接跟着若干个${\alpha}$的串
我们对上面的结论进行推广：
对于P的全部产生式是

\[{P -> P\alpha_1|P\alpha_2|...|P\alpha_m|\beta_1|\beta_2|...|\beta_n},其中每个{\alpha}都不以{\epsilon}开头,每个\beta都不以P开头 \]

我们直接进行右递归改造：

\[{P -> \beta_1P’|\beta_2P’\|...|beta_nP’} \]

\[{P’->\alpha_1P’|\alpha_2P’|...|\alpha_mP'} \]

例子：
${E->E+T|T}$
${T->T*F|F}$
${F->(E)|i}$
对于第一个式子有直接左递归我们进行消除，首先第一个式子最终的推导串是以${T}$开头后面若干个{+T}我们进行等价变换：$${E->TE'}$$ $${E'->+TE'|\epsilon}$$
对于第二个式子也是直接左递归的我们也需要进行消除，首先第二个式子最终推导出的串的形式下以${F}$开头后面若干个*F，我们根据这个进行等价变换
${T->FT'}$
${T'*FT'|\epsilon}$
最后一个式子没有直接左递归不用进行处理

非直接左递归

\[文法G(S) \]

\[{S -> Qc|c} \]

\[{Q -> Rb|b} \]

\[{R -> Sa|a} \]

形式上这个文法并没有直接左递归，但是实际上这个文法是左递归的，进行如下推导就可以看出

\[{S => Qc => Rbc => Sabc} \]

经过推导我们发现S实际上是左递归的
我们从上面的文法可以看出S是由Q定义的，Q是由R定义的，R是由S定义的，那么我们可以得到下图

${S -> Qc|c}$
${Q -> Rb|b}$
${R -> Sa|a}$
我们将Q中的R替换掉

${S -> Qc|c}$
${Q -> Sab|ab|b}$
${R -> Sa|a}$
再将S中的Q替换掉

${S ->Sabc|abc|bc|c}$
${Q -> Sab|ab|b}$
${R -> Sa|a}$

消除左递归的算法

1.把文法G的所有非终结符按任意一种顺序排列成${P_1 P_2, ... ,P_n}$按此顺序执行
2.
$FOR\quad i:=1\quad TO\quad n\quad DO$
$BEGIN$
$\quad \quad FOR \quad j:=1 \quad TO \quad i-1\quad DO$
$ \quad \quad 把形如P_i->P_j \gamma 的规则改写成，P_i-> \delta_1 \gamma|\delta_2 \gamma|...|\delta_k \gamma (其中P_j -> \delta_1|\delta_2|...|\delta_k是关于P_j的所有规则) $

消除回溯、提左因子

FIRST

为了消除回溯，我们首先需要引入两个概念一个是FIRST集一个是FOLLW集
FIRST:
零G是一个不含左递归的文法，对G的所有非终结符的每一个候选$\alpha$定义它的终结首符集$FIRST(\alpha)$

那么当要求A匹配输入串时，A就能根据它所面临的第一个输入符号a，准确地指派某一个候选前去。这个候选就是那个首符集含$a$的$\alpha$

提左因子

很多文法都存在不满足所有候选式的终结首符集不两两相交的。我们采用提取公共左因子的办法
假设关于A的规则是:

\[{A\rightarrow \delta \beta_1 | \delta \beta_2 | ... |\delta \beta_n| \gamma_1 | \gamma_2| ... | \gamma_m} \quad ,(其中,每个 \gamma 不以 \delta 开头) \]

那么可以把这些规则改写成

\[{A \rightarrow \delta A' | \gamma_1 | \gamma_2| ... | \gamma_m} \]

\[{A' \rightarrow \beta_1 | \beta_2 | ... | \beta_n} \]

经过上面反复提取左因子，我们一定可以将一个非终结符的所有候选式的FIRST集两两不相交

FOLLOW集

消除左递归后的文法

\[{E \rightarrow TE'} \]

\[{E' \rightarrow +TE'|\epsilon} \]

\[{T \rightarrow FT'} \]

\[{T' \rightarrow * FT'|\epsilon} \]

\[{F \rightarrow (E)|i} \]

我们对$ i + i $进行至上而下的语法分析

当我们进行到这个地方的时候我们发现$T'有两个候选式{T' \rightarrow * FT'|\epsilon}，但是 * 不能和 + 匹配，另一个候选式是{\epsilon} ,这时我们不能选择 * FT' 去扩展，只能选择 {\epsilon}$
可以看到当候选式有${\epsilon}$时，会对我们的分析产生困难，如何消除这个困难呢？什么时候才能用${\epsilon}$去扩展呢？
这里我们就引入了$FOLLOW集$

LL(1)的分析条件

LL(1)文法

文法不含左递归
对文法中每一个非终结符A的各个产生式的候选终结首符集两两不相交，

\[A \rightarrow \alpha_1 | \alpha_2 | ... | \alpha_n \]

\[则 FIRST( \alpha_i ) \cap FIRST( \alpha_j ) = \varnothing \]

对文法中的每个非终结符A，若它存在某个候选首符集包含 $ { \epsilon }$

\[{ FIRST(A) \cap FOLLWO(A)} \]

对于一个LL(1)文法，我们可以对输入串进行有效的无回溯的至上而下分析，假设我们要用非终结符$A做匹配，面临的输入符号为 \alpha, A$的所有产生式为：

\[A \rightarrow \alpha_1 | \alpha_2 | ... | \alpha_n \]

若$a \in FIRST(\alpha_i)则指派 \alpha_i$匹配
若$ a $不属于任何一个候选首符集，则：
1. 若$\epsilon \in FIRST(\alpha_i)并且a \in FOLLOW(A)则让A与 \epsilon自动匹配$
2. 否则a的出现是一种语法错误

构造FIRST和FOLLOW集合

构造每个文法符号的FIRST集合

对每一文法符号 $ X \in V_T \cup V_N构造FIRST(X) $
连续使用下面几条规则，直到每个FIRST集合不再增大为止

若 $ X \in V_T 则FIRST(X) = {X} $
若$ X \in V_N 且有产生式 X \rightarrow a ...,则把a加入到FIRST(X)中；若 X \rightarrow \epsilon 也是一条产生式，则把\epsilon也加入FIRST(X) $
若 $ X \rightarrow Y 且Y \in V_N,则把FIRST(Y)中的所有非 \epsilon 元素加入到FIRST(X)中 $

构造FOLLOW集合

再回顾一遍FOLLOW集合的定义:

\[FOLLOW(A) = \{ a| S \Rightarrow ...Aa...,a \in V_T\} \]

对于文法G的每个非终结符A构造FOLLOW(A),连续使用下面的规则，直至每个FOLLOW不再增大为止

对于文法的开始符号 $S ,置 \# 于FOLLOW(S)中$
若$A \rightarrow \alpha B \beta 是一个产生式，则把FIRST({ \beta }) | \epsilon 加至 FOLLOW(B)中$
若$A \rightarrow \alpha B 是一个产生式，或 A \rightarrow \alpha B \beta是一个产生式，但 \beta \Rightarrow \epsilon$则把 $FOLLOW(A)加入到FOLLOW(B)$

递归下降分析程序

\[文法G(E)： \]

\[{E \rightarrow TE'} \]

\[{E' \rightarrow +TE'|\epsilon} \]

\[{T \rightarrow FT'} \]

\[{T' \rightarrow * FT'|\epsilon} \]

\[{F \rightarrow (E)|i} \]

文法的另一种表示方法和转换图

文法
$E \rightarrow T | E + T$
$T \rightarrow F | T * F$
$F \rightarrow i | (E)$
用巴克斯范式可以表示为：
$E \rightarrow T \{ +T \}$
$T \rightarrow F \{ * F \}$
$F \rightarrow i | (E)$

我们还可以用语法图来表示，这种图的每一个子图是一个非终结符，子图和子图之间可以相互引用

根据语法图和上面的巴克斯范式我们可以写出递归下降程序