二分查找和二分答案

因为前天做了一道spfa+二分的题目，没有看出来需要用二分，就想着先练一练二分的题目在洛谷题单里面的两道题目，虽然不太难，确实能起到训练二分的作用模版打的更熟了，对二分有了多一点的理解

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[COCI 2011/2012 #5] EKO / 砍树

题目描述

伐木工人 Mirko 需要砍 $M$ 米长的木材。对 Mirko 来说这是很简单的工作，因为他有一个漂亮的新伐木机，可以如野火一般砍伐森林。不过，Mirko 只被允许砍伐一排树。

Mirko 的伐木机工作流程如下：Mirko 设置一个高度参数 $H$（米），伐木机升起一个巨大的锯片到高度 $H$，并锯掉所有树比 $H$ 高的部分（当然，树木不高于 $H$ 米的部分保持不变）。Mirko 就得到树木被锯下的部分。例如，如果一排树的高度分别为 $20,15,10$ 和 $17$，Mirko 把锯片升到 $15$ 米的高度，切割后树木剩下的高度将是 $15,15,10$ 和 $15$，而 Mirko 将从第 $1$ 棵树得到 $5$ 米，从第 $4$ 棵树得到 $2$ 米，共得到 $7$ 米木材。

Mirko 非常关注生态保护，所以他不会砍掉过多的木材。这也是他尽可能高地设定伐木机锯片的原因。请帮助 Mirko 找到伐木机锯片的最大的整数高度 $H$，使得他能得到的木材至少为 $M$ 米。换句话说，如果再升高 $1$ 米，他将得不到 $M$ 米木材。

输入格式

第 $1$ 行 $2$ 个整数 $N$ 和 $M$，$N$ 表示树木的数量，$M$ 表示需要的木材总长度。

第 $2$ 行 $N$ 个整数表示每棵树的高度。

输出格式

$1$ 个整数，表示锯片的最高高度。

样例 #1

样例输入 #1

4 7
20 15 10 17

样例输出 #1

15

样例 #2

样例输入 #2

5 20
4 42 40 26 46

样例输出 #2

36

提示

对于 $100\%$ 的测试数据，$1\le N\le 10^6$，$1\le M\le 2\times 10^9$，树的高度 $<10^9$，所有树的高度总和 $>M$。

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这是一道二分答案的题目现在我也解释不太清楚为什么答案具有单调性，因为答案一定在0和max之间，我们不断地二分出来答案然后对答案进行check，最后一定能找到满足答案的最小值

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
ll a[N];
ll n, M, l, r;

bool check(ll x)
{
    ll sum = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++ i)
        if((a[i] - x) >= 0 )    sum += (a[i] - x);
    
    return sum >= M;
}
int main()
{
    // freopen("1.in.txt", "r", stdin);
    cin >> n >> M;
    for(int i = 0; i < n ; ++i) 
    {
        scanf("%lld", &a[i]);
        r = max(r, a[i]);
    }

    while(l < r)
    {
        ll mid = (l + r + 1) >> 1;
        if(check(mid))  l = mid;
        else    r = mid - 1;
    } 
    cout << l;
}

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烦恼的高考志愿

题目背景

计算机竞赛小组的神牛 V 神终于结束了高考，然而作为班长的他还不能闲下来，班主任老 t 给了他一个艰巨的任务：帮同学找出最合理的大学填报方案。可是 v 神太忙了，身后还有一群小姑娘等着和他约会，于是他想到了同为计算机竞赛小组的你，请你帮他完成这个艰巨的任务。

题目描述

现有 $m$ 所学校，每所学校预计分数线是 $a_i$。有 $n$ 位学生，估分分别为 $b_i$。

根据 $n$ 位学生的估分情况，分别给每位学生推荐一所学校，要求学校的预计分数线和学生的估分相差最小（可高可低，毕竟是估分嘛），这个最小值为不满意度。求所有学生不满意度和的最小值。

输入格式

第一行读入两个整数 $m,n$。$m$ 表示学校数，$n$ 表示学生数。

第二行共有 $m$ 个数，表示 $m$ 个学校的预计录取分数。第三行有 $n$ 个数，表示 $n$ 个学生的估分成绩。

输出格式

输出一行，为最小的不满度之和。

样例 #1

样例输入 #1

4 3
513 598 567 689
500 600 550

样例输出 #1

32

提示

数据范围：

对于 $30\%$ 的数据，$1\le n,m\le 1000$，估分和录取线 $\le 10000$；

对于 $100\%$ 的数据，$1\le n,m\le 100000$，估分和录取线 $\le 1000000$ 且均为正整数。

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这道题目用到的是二分查找，我们先枚举学生成绩，然后在学校录取分数里面二分出第一个大于等于该学生成绩的学校，和第一个小于等于该学生成绩的学校，然后两者与学生成绩做差比较一下最小值即可，需要注意的是大于等于该学生成绩的学校以及小于等于该学生成绩的学校可能是不存在的，如果不存在我们就需要分类讨论

经过上面的分类讨论我们可以看出无论要二分的东西是否有解，即题目是否有解，我们的二分一定是有解的，也就是说我们一定可以二分出来一个边界。

注意下标是从0，还是1开始的，我就是写这篇随笔的时候才发现为什么那一个点一直过不去，最后加了个特判才过，其实不需要
###下面是错误版本🙅

#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
ll a[N], b[N];
int n, m;
ll ans;

int main()
{
    // freopen("1.in.txt","r", stdin);
    cin >> m >> n;
    for(int i = 0; i < m; ++ i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(int i = 0; i < n; ++ i) scanf("%lld", &b[i]);
    sort(a, a + m); sort(b, b + n);
    for(int i = 0; i < n; ++ i)
    {
        int l1 = 0, r1 = m;
        while(l1 < r1)
        {
            int mid = (l1 + r1 + 1) >> 1;
            if(a[mid] <= b[i])  l1= mid;
            else    r1 = mid - 1;
        }
        ll x = a[l1];
        int l2 = 0, r2 = m;
        while(l2 < r2)
        {
            int mid = (l2 + r2) >> 1;
            if(a[mid] >= b[i])   r2 = mid;
            else    l2 = mid + 1;
        }
        ll y = a[l2];
        if(l1 == m) ans += abs(b[i] - a[m - 1]);
        // cout << l1 << ' ' << r1 <<' ' << l2 << ' ' << r2 << endl;
        else    ans += min(abs(b[i] - x), abs(y - b[i]));
    }
    cout << ans;
    return 0;
}

###正确版本在这

#include<iostream>
#include <algorithm>
#include <math.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int N = 1e6 + 10;
ll a[N], b[N];
int n, m;
ll ans;

int main()
{
    // freopen("1.in.txt","r", stdin);
    cin >> m >> n;
    for(int i = 0; i < m; ++ i) scanf("%lld", &a[i]);
    for(int i = 0; i < n; ++ i) scanf("%lld", &b[i]);
    sort(a, a + m); sort(b, b + n);
    for(int i = 0; i < n; ++ i)
    {
        int l = 0, r = m - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r + 1) >> 1;
            if(a[mid] <= b[i])  l = mid;
            else    r = mid - 1;
        }
        ll x = a[l];
        l = 0, r = m - 1;
        while(l < r)
        {
            int mid = (l + r) >> 1;
            if(a[mid] >= b[i])   r = mid;
            else    l = mid + 1;
        }
        ll y = a[l];
    
        ans += min(abs(b[i] - x), abs(y - b[i]));
    }
    cout << ans;
    return 0;
}