拟合算法

合集 - 数学建模算法(27)

1.整数规划2024-07-072.非线性规划2024-10-113.非线性规划之飞行管理问题2024-10-114.遗传算法与直接搜索2024-10-115.图论基础：最小路径问题2024-07-076.网络最大流量问题2024-07-077.最小费用最大流问题2024-07-058.旅行商（TSP）问题2024-07-059.微分方程模型2024-07-0910.数据预处理2024-10-1111.插值方法2024-07-06

12.拟合算法2024-07-08

13.数据初始化2024-10-1114.层次分析法2024-07-1315.模糊综合评价2024-07-1416.CRITIC指标客观赋权方法2024-10-1117.Topsis评价法2024-10-1118.熵权法2024-10-1119.灰色关联度分析2024-10-1120.聚类分析2024-10-1121.主成分分析2024-10-1122.因子分析2024-10-1123.判别分析2024-10-1124.典型相关分析2024-10-1125.对应分析2024-10-1126.多维标度法2024-10-1127.亮度变化与空间滤波2024-10-11

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理论

拟合与插值不同，不需要经过所有的点，只需要误差比较小，拟合就是可行的。

基本的方法是最小二乘法，

设一条曲线$y=kx+b$ , 对于$x_i$这条曲线的估值为$f(x_i),\mathrm{残}\mathrm{差}\mathrm{为}e=f(x_i)-y_i.\mathrm{最}\mathrm{小}\mathrm{二}\mathrm{乘}\mathrm{法}\mathrm{就}\mathrm{是}\mathrm{让}\sum e^2\mathrm{最}\mathrm{小}$。

因为这些方程都是线性方程，所以除了求导计算最小值满足的k，b之外，还可以用线性代数解决最小二乘法问题。详见：https://open.163.com/newview/movie/free?pid=M6V0BQC4M&mid=M6V2AOJPU

大意为，一个线性方程组 Ax=b如果无解，那么最近的近似解可以通过$A^T\cdot Ax=A^T\cdot b$的解计算来计算。

现实中的拟合可能要求高次函数，一次函数的拟合效果可能不好，所以可以用若干非线性函数来拟合。考虑一下插值算法，总体效果不好的情况下可以分段插值，所以拟合也可以分段，我们可以用若干非线性函数来拟合

1. 直线y=kx+b
2. 多项式$y=a_0+a_{1}x+\cdots +a_m{x}^m$
3. 双曲线$y=\frac{a_1}{x}+a_2$
4. 指数函数$y=a_1{e}^{a_{2}x}$.

有那么多的拟合函数，那么如何评价拟合效果呢？

用拟合优度(可决系数)，$\mathrm{记}\mathrm{作}{R}^2，\mathrm{其}\mathrm{中}0\le R^2=\frac{SSR}{SST}=\frac{SST-SSE}{SST}=1-\frac{SSE}{SST}\le 1，R^2\mathrm{越}\mathrm{接}\mathrm{近}1\mathrm{越}\mathrm{好}。$

$SST(total)\mathrm{为}\mathrm{总}\mathrm{体}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{和}，SST=\sum _{i=1}^n(y_i-\overline{y}{)}^2$

$SSE(error)\mathrm{为}\mathrm{误}\mathrm{差}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{和}，SSE=\sum _{i=1}^n(y_i-\widehat{y_i}{)}^2$

$SSR(return)\mathrm{为}\mathrm{回}\mathrm{归}\mathrm{平}\mathrm{方}\mathrm{和}，SSR=\sum _{i=1}^n(\widehat{y_i}-\overline{y}{)}^2$

拟合优度$R^2$只能用于看线性拟合的效果，其他非线性看SSE的大小。

MATLAB

MATLAB自带拟合工具包，支持曲线拟合工作，在APP中找 Curve Fitting Tool.

最小二乘法，求一个y=a+bx的公式，用线性代数方法

%x,y为初始数据
x;
y;
%构造r它是方程中已知量的矩阵
r = [ones(5,1) x.^2];
ab = r\y %ab是r左除y，即ab=inv(r)*y，这样能得到方程的解，拟合曲线的系数在ab中。

多项式拟合

a = polyfit(x0,y0,m)
%x0,y0为初始数值
%m为多项式次数
%a为参数
y = polyval(a,x)
%要求拟合函数在x处的值用polyval