网络最大流量问题

啥叫流量？上网用的？

网络的流量，顾名思义就像我们用手机上网时所说的流量一样，是用来描述网络中的支路上通过的量的大小。

比如你使用了10G的流量，就说明有10G的数据通过手机和服务器之间的支路进行了传输。

在图论中，设有向图 D=(V,A,C) , V是点集，A是边集，C是容量集。

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$V_{i}$ 到 $V_{j}$ 的容量为 $C_{i j}$ ≥0, $C_{i j}$ ∈ $C$ . 通过这条支路的流量就为 $x_{i j}$ .

一张流量图包含发点，收点，中间点

发电：仅有出弧的点
收点：仅有入弧的点
中间点：出发点与收点的其他点

可行流

一个流量图的可行流满足如下条件

容量条件： $0 \leq x_{i j} \leq C_{i j}$
平衡条件：
1. 发点的净输出量=收点的净输入量
2. 中间点的输入量=中间点输出量（有基尔霍夫定律的感觉有没有）

增广链

根据可行流的平衡条件，如果某些节点（比如发点）多发一些流量，那么这条链接下来的中间点收到的流量都会增大，这样的链叫增广链。注意流量不能超过容量。

对于每一条弧：1. 前向弧（向下一个节点发流量）：找那些可以增加流量的弧。

反向弧（向上一个节点发流量）：找那些可以减小流量的弧。

所有前向流的流量+1，反向流的流量相应地-1.

Ford Fulkerson算法

该算法分为标号和增流过程，标号过程找到一条可增广的弧，增流过程算出最大的流量。

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function [max_flow, flow] = ford_fulkerson(G, source, sink)
    % G 是一个邻接矩阵，表示图的边和容量
    % source 是源点
    % sink 是汇点

    % 初始化流矩阵
    flow = zeros(size(G));
    max_flow = 0;

    % 标记数组，记录是否访问过
    visited = false(size(G, 1), 1);

    % 寻找增广路径
    while true
        % 重置访问标记
        visited = false;

        % BFS 寻找从源点到汇点的增广路径
        path = bfs(G, source, sink, visited, flow);

        % 如果没有找到增广路径，退出循环
        if isempty(path)
            break;
        end

        % 计算增广路径上的最小容量
        path_flow = inf;
        for i = 1:length(path) - 1
            edge = [path(i), path(i + 1)];
            path_flow = min(path_flow, G(edge(1), edge(2)));
        end

        % 更新流矩阵
        for i = 1:length(path) - 1
            edge = [path(i), path(i + 1)];
            flow(edge(1), edge(2)) = flow(edge(1), edge(2)) + path_flow;
            flow(edge(2), edge(1)) = flow(edge(2), edge(1)) - path_flow;
        end

        % 更新最大流
        max_flow = max_flow + path_flow;
    end
end

function path = bfs(G, source, sink, visited, flow)
    % 使用广度优先搜索寻找增广路径
    path = [];
    parent = [];
    queue = [source];

    while ~isempty(queue)
        u = queue(1);
        queue(1) = [];
        if u == sink
            break;
        end

        for v = 1:length(G)
            if ~visited(v) && G(u, v) - flow(u, v) > 0
                queue = [queue, v];
                parent = [parent, u];
                visited(v) = true;
            end
        end
    end

    % 回溯找到路径
    if ~isempty(parent)
        path = [sink];
        while path(end) ~= source
            path = [parent(path(end)), path];
        end
        path = [source, path];
    end
end

Matlab工具库

[flowValue, flowMatrix] = maxflow (G, s, t);
%G：这是一个graph对象，表示图的结构。graph对象可以通过graph函数创建，并通过addnode和addedge等函数添加节点和边。
%s：这是源节点的索引，表示流开始的节点。在图的上下文中，节点通常由整数索引标识，源节点是指定从哪个节点开始计算流。
%t：这是汇节点的索引，表示流结束的节点。与源节点类似，汇节点指定了流的终点。
%maxflow函数返回的值是：flowValue：这是一个数值，表示从源节点到汇节点可以流动的最大流量。

% 可以在最后加算法参数
%'searchtrees'（默认值）使用博伊科夫-科尔莫戈洛夫算法。通过构造与节点 s 和 t 相关联的两个搜索树，计算最大流。
%'augmentpath'	使用 Ford-Fulkerson 算法。通过求残差有向图中的增广路径，以迭代方式计算最大流。有向图中相同的两个节点之间不能有相反方向的任何平行边，除非这些边中某条边的权重为零。因此，如果图包含边 [i j]，则仅当 [i j] 的权重为零和/或 [j i] 的权重为零时，它才能包含反向边 [j i]。
%'pushrelabel'	通过将某节点的余流推送到其相邻节点并为该节点重新添加标签，计算最大流。有向图中相同的两个节点之间不能有相反方向的任何平行边，除非这些边中某条边的权重为零。因此，如果图包含边 [i j]，则仅当 [i j] 的权重为零和/或 [j i] 的权重为零时，它才能包含反向边 [j i]。