图论基础：最小路径问题

合集 - 数学建模算法(27)

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5.图论基础：最小路径问题2024-07-07

6.网络最大流量问题2024-07-077.最小费用最大流问题2024-07-058.旅行商（TSP）问题2024-07-059.微分方程模型2024-07-0910.数据预处理2024-10-1111.插值方法2024-07-0612.拟合算法2024-07-0813.数据初始化2024-10-1114.层次分析法2024-07-1315.模糊综合评价2024-07-1416.CRITIC指标客观赋权方法2024-10-1117.Topsis评价法2024-10-1118.熵权法2024-10-1119.灰色关联度分析2024-10-1120.聚类分析2024-10-1121.主成分分析2024-10-1122.因子分析2024-10-1123.判别分析2024-10-1124.典型相关分析2024-10-1125.对应分析2024-10-1126.多维标度法2024-10-1127.亮度变化与空间滤波2024-10-11

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图论基础：最小路径问题

概念

图是一种抽象出的数学概念。图论是欧拉在研究柯尼斯堡七桥问题开创的数学分支。

一个图通常用一个二元组表示， G=(V(G),E(G))，其中V是非空集，称为点集 (vertex set)，对于 V(G)中的每个元素，我们称其为顶点 (vertex)或节点 (node)，简称点；E(G) 为 V(G) 各结点之间边的集合，称为边集 (edge set)。

当边有向时，称为有向图；当边无向时，称为无向图。

表示方法

一般我们用一个邻接矩阵来表示一张图。

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比如这张图，就可以表示为

	A	B	C	D	E	F
A	0	2	4	Inf	Inf	Inf
B	2	0	5	Inf	Inf	4
C	4	5	0	1	3	Inf
D	Inf	Inf	1	0	3	Inf
E	Inf	Inf	3	3	0	1
F	Inf	4	Inf	Inf	1	0

邻接矩阵是对称的，对于没有直接相连的两个点，用Inf表示。

按照邻接矩阵的性质，它一定是对称的。

最短路问题

现有一个图的邻接矩阵，求从A到其他各点的最短距离。

最短路径问题有很多解法，可以用整数规划，蒙特卡洛等，但最好的算法是迪杰斯特拉算法（Dijkstra），

其基本思想是按距 （起点）从近到远为顺序，依次求得 到G各顶点最短的路径和距离，直到 （终点）。以下是算法步骤

1. $Letl(u_0)=0,forv\ne u_0,letl(v)=\mathrm{\infty },S_0=u_0,i=0.$
2. For every $v\in \overline{S_i}(\overline{S_i}=V\mathrm{\setminus }{S}_i).l(v)=mi{n}_{u\in S_i}\{l(v)l(u)+w(u,v)\}.S_{i+1}=S_i\cup u_{i+1}$
3. If $i=|V|-1,stop.Else,i=i+1anddostep2again.$

代码实现：

function [mydistance, mypath] = dijkstra(a,sb,db) %a为邻接矩阵，sb起点，db终点
    n=size(a,1);% n个结点
    visited(1:n) = 0;% 都没有访问过
    distance(1:n) = inf;
    distance(sb) = 0;%自己到自己的距离为0
    visited(sb) = 1;u=sb;%更新一次，已经访问过自己。
    parent(1:n) = 0;%前驱节点初始化
    for i=1 : n-1
        id = find(visited == 0);%查找未曾访问过的点
        for v = id
            if a(u,v) + distance(u) < distance(v) %起点到u的距离加（u,v）的距离小于起点到v的距离的话
                distance(v) = a(u,v) + distance(u);
                parent(v) = u;
            end
        end
        temp = distance;
        temp(visited == 1) = inf; %已经标号的点的距离换为无穷，防止之前的点加入筛选。
        [t,u] = min(temp); %找到这一轮选取的点中距离最小的点, 顺便更新u
        visited(u)=1;
    end
mypath = [];
if parent(db) ~= 0 %如果有路
    t=db;
    mypath = db;
    while t ~= sb
        p=parent(t);
        mypaht = [p mypath];
        t = p;
    end
end
mydiatance = diatance(db);

迪杰斯特拉算法有一个小问题， 就是不能计算权重有负值的点。

SPFA（贝尔曼-福特算法）和弗洛伊德等算法可以解决这个问题，见最短路 - OI Wiki (oi-wiki.org)。

MATLAB自带函数

这里讲一下matlab自带的计算最小路径的函数，它也可以计算有负边权的问题。

[P,d] = shortestpath (G, start, end, ['method', algorithm])
%method 为求解的算法，具体如下
%auto为默认算法，其中unweighted用于无权图， positive用于边权非负图
%unweighted BFS广搜求解（仅用于无权图）
%positive dijkstra算法，用于非负边权图
%mixed算法 用贝尔曼-福特算法求解（能算负边权）

用matlab画图可用graph函数绘制边权图（在2021以上matlab版本中，graph也可以绘制邻接矩阵图了）

G = graph(s, t, w);%s为起点，t为终点，w为权重
plot(G,'linewidth',2);
set(gca, 'XTick', [], 'YTick', []);%去掉数轴

%%绘制字符数串图
s={'北京','上海','南京'};
t={'上海','南京','北京'};
w=[10,20,30];
G = graph(s, t, w);
plot(G, 'EdgeLabel', G.Edges.Weight, 'linewidth', 2);
set(gca, 'XTick', [], 'YTick', []);%去掉数轴

%% 用邻接矩阵绘图（biograph在2021版本后已经被ban掉了）
cmat = [0 1 0 0;
       1 0 1 1;
       0 1 0 0;
       0 1 0 0];
name = {'Node1', 'Node2', 'Node3', 'Node4'};
% 用digraph创建有向图
G = digraph(cmat, name);
% 用plot函数绘制图形
figure;
p = plot(G, 'Layout', 'circle'); % 用'circle'布局来尝试模拟'radial'效果。
% 进一步定制图形，例如设置节点颜色、大小等（可选）
p.NodeColor = 'r';
p.MarkerSize = 10;

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