旅行商（TSP）问题

合集 - 数学建模算法(27)

1.整数规划2024-07-072.非线性规划2024-10-113.非线性规划之飞行管理问题2024-10-114.遗传算法与直接搜索2024-10-115.图论基础：最小路径问题2024-07-076.网络最大流量问题2024-07-077.最小费用最大流问题2024-07-05

8.旅行商（TSP）问题2024-07-05

9.微分方程模型2024-07-0910.数据预处理2024-10-1111.插值方法2024-07-0612.拟合算法2024-07-0813.数据初始化2024-10-1114.层次分析法2024-07-1315.模糊综合评价2024-07-1416.CRITIC指标客观赋权方法2024-10-1117.Topsis评价法2024-10-1118.熵权法2024-10-1119.灰色关联度分析2024-10-1120.聚类分析2024-10-1121.主成分分析2024-10-1122.因子分析2024-10-1123.判别分析2024-10-1124.典型相关分析2024-10-1125.对应分析2024-10-1126.多维标度法2024-10-1127.亮度变化与空间滤波2024-10-11

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题面

旅行商问题(TravelingSalesmanProblem，TSP)是一个经典的组合优化问题。经典的TSP可以描述为：一个商品推销员要去若干个城市推销商品，该推销员从一个城市出发，需要经过所有城市后，回到出发地。应如何选择行进路线，以使总的行程最短。

哈密顿环 改良圈

一个哈密顿环是一个包含所有顶点的圈，如果先求出一个哈密顿环，再不停地优化，构造新的更小的哈密顿环，就可以逼近问题的解。
设初始哈密顿环$C=v_1{v}_2{v}_3\cdots v_n{v}_1.$
(1)对于$1\le i<i+1<j\le n$, 构造新的哈密顿环$c_{ij}=v_1{v}_2\cdots v_i{v}_j{v}_{j-1}{v}_{j-2}\cdots v_{j+1}{v}_{j+2}\cdots v_n{v}_1$, 即删掉$v_i{v}_{i+1},v_j{v}_{j+1}$,添加$v_i{v}_j,v_{i+1}{v}_{j+1}$. 如果$W(v_i{v}_j)+w(v_{i+1}{v}_{j+1})<w(v_i{v}_{i+1})+w(v_j{v}_{j+1})$ 则以$C_{ij}$替换C,称其为的改良换。
(2) 重复（1）直到无法改进为止。
如果一次换三条边，效率更高，但是更多的话效率反而降低。

代码

以这样一道例题写代码

%初始化图
a=zores(6);
a(1,2) = 56; a(1,3) = 35; a(1,4) = 21; a(1,5) = 51; a(1,6) = 60; 
a(2,3) = 21; a(2,4) = 57; a(2,5) = 78; a(2,6) = 70; a(3,4) = 36; a(3,5) = 68; a(3,6) = 68; a(4,5) = 51; a(4,6) = 61;
a(5,6) = 13;
a = a + a';
%初始化完成
L = size(a,1);
c = [5 1:4 6 5];%选一个初始圈
[circle, long] = modifycircle(a,L,c)%定义函数modifycircle来修改边

function [circle, long] = modifycircle(a,L,c)
  for k = 1:L
    flag=0;%推出标志
    for m = 1:L-2 %算法中的i
      for n = m+2:L %算法中的j
        if a(c(m),c(n)) + a(c(m+1),c(n+1))<a(c(m),c(n+1)) + a(c(m+1),c(n))
          c(m+1:n) = c(n:-1:m+1); flag = flag+1;% 如果本来的边是从12，56，现在是15，26，即变为154326，是n:-1:m+1
        end
      end
    if flag == 0 %已经最优
      long = 0;%计算最优结果
      for i=1:L
        long = long + a(c(i),c(i+1))
      end
    circle = c;
    return;
    end
end

整数规划

用$x_{ij}=0or1$ 表示是否走这条路。
$d_{ij}$表示两城市间的距离。

用matlab写有点繁琐，所以只是理论可行。

还可以用蒙特卡洛，神经网络等算法模拟或近似