根式

概念

平方根

如果 $x^2=a$，那么称 $x$ 为 $a$ 的平方根。
求 $a$ 的平方根的过程，叫做开平方。
符号：$x^2=a\iff x=\pm \sqrt{a}$
$\star \sqrt{a}$ 叫做 $a$ 的算术平方根
性质：

• 正数有 $2$ 个平方根，且互为相反数。
• $0$ 的平方根是 $0$。
• 负数的平方根不存在。

立方根

如果 $x^3=a$，那么称 $x$ 为 $a$ 的立方根。
求 $a$ 的立方根的过程，叫做开立方。
符号：$x^3=a\iff x=\sqrt[3]{a}$
性质：

• 任意一个整数都有且仅有 $1$ 个，且符号与原数相同。

$n$ 次方根

如果 $x^n=a$，那么称 $x$ 为 $a$ 的 $n$ 次方根。
求 $a$ 的 $n$ 次方根的过程，叫做开 $n$ 次方。
符号：分类讨论！
$1^{\circ }$ $n$ 为 $\ge 2$ 的奇数
$x=\sqrt[n]{a}$
$2^{\circ }$ $n$ 为 $\ge 2$ 的偶数
$\mathrm{I}.a\ge 0$，则 $x=\pm \sqrt[n]{a}$
$\mathrm{II}.a<0$，则 $x$ 在实数范围内不存在。

题目易错点

1. 当题目中出现“偶次方根”时，要注意 $x=\pm \sqrt[n]{a}$
2. 当题目中直接出现 $\sqrt[2n]{\dots \dots }$ $(n\in Z^{+})$ 时，不需要讨论，结果为正
3. 当题目中根号内有幂时，内外可以抵消，如果根号上抵消完，则去掉根号；如果根号上还剩下 $2$，$2$ 略写