欧几里得算法 & 扩展欧几里得算法

一、欧几里得算法
　　欧几里得算法，也叫辗转相除，简称 gcd，用于计算两个整数的最大公约数
　　引理：$gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)$
　　证明：
　　　　设 $r=a$ , $c=gcd(a,b)$
　　　　则 $a=xc$ , $b=yc$ , 其中 $x,y$ 互质
　　　　$r=a\mathrm{\%}b=a-pb=xc-pyc=(x-py)c$
　　　　而 $b=yc$
　　　　假设 $y$ 与 $x-py$ 不互质：
　　　　设 $y=nk$ , $x-py=mk$ , 且 $k>1$ （互质）
　　　　将 $y$ 带入可得
　　　　$x-pnk=mk$
　　　　$x=(pn+m)k$
　　　　则 $a=xc=(pn+m)kc$ , $b=yc=nkc$
　　　　那么此时 $gcd(a,b)=kc\ne k$，矛盾！
　　　　所以 $y$ 与 $x-py$ 互质，$gcd(r,b)=c$
　　　　即 $gcd(b,r)=c=gcd(a,b)$
　　　　得证！

　　当 $a\mathrm{\%}b=0$ 时， $gcd(a,b)=b$

int gcd(int a,int b){return b?gcd(b,a%b):a;}

二、扩展欧几里得算法
　　扩展欧几里得算法，简称 exgcd，一般用来求解不定方程，求解线性同余方程，求解模的逆元等
　　引理：存在 $x$ , $y$ 使得 $gcd(a,b)=ax+by$
　　证明：
　　　　当 $b=0$ 时，$gcd(a,b)=a$，此时 $x=1,y=0$
　　　　当 $b\ne 0$ 时，
　　　　设 $a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)=gcd(b,a\mathrm{\%}b)=b{x}_2+(a\mathrm{\%}b)y_2$
　　　　又因 $a\mathrm{\%}b=a-\frac{a}{b}\times b$
　　　　则 $a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-\frac{a}{b}\times b)y_2$
　　　　$a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+a{y}_2-\frac{a}{b}\times b{y}_2$
　　　　$a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b{x}_2-b\times \frac{a}{b}\times y_2$
　　　　$a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b(x_2-\frac{a}{b}\times y_2)$
　　　　解得 $x_1=y_2$ , $y_1=x_2-\frac{a}{b}\times y_2$
　　　　因为当 $b=0$ 时存在 $x$ , $y$ 为最后一组解
　　　　而每一组的解可根据后一组得到
　　　　所以第一组的解 $x$ , $y$ 必然存在
　　　　得证！

　　根据上面的证明，在实现的时候采用递归做法
　　先递归进入下一层，等到到达最后一层即 b=0 时就返回x=1 , y=0
　　再根据 $x=y^{\prime }$ , $y=x^{\prime }-\frac{a}{b}÷y^{\prime }$（$x^{\prime }$ 与 $y^{\prime }$ 为下一层的 $x$ 与 $y$）得到当层的解
　　不断算出当层的解并返回，最终返回至第一层，得到原解

void exgcd(int a,int b)
{
    if(b)
    {
        exgcd(b,a%b);
        int k=x;
        x=y;
        y=k-a/b*y;
    }
    else y=(x=1)-1;
}

• 应用一：exgcd 解不定方程（使用不将 $a$ 与 $b$ 转为互质的方法）
  　　对于 $ax+by=c$ 的不定方程，设 $r=gcd(a,b)$
  　　当 $c\mathrm{\%}r\ne 0$ 时无整数解
  　　当 $c\mathrm{\%}r=0$ 时，将方程右边 $\times r÷c$ 后转换为 $ax+by=r$ 的形式
  　　可以根据扩展欧几里得算法求得一组整数解 $x_0$ , $y_0$
  　　而这只是转换后的方程的解，原方程的一组解应再 $\times c÷r$ 转变回去
  　　则原方程解为 $x_1=x_0\times c÷r$ , $y_1=y_0\times c÷r$
  　　通解 $x=x_1+b\times r÷t$ , $y=y_1-a\times r÷t$ ，其中 $t$ 为整数

• 应用二：exgcd 解线性同余方程
  　　关于 $x$ 的模方程 $ax\mathrm{\%}b=c$ 的解
  　　方程转换为 $ax+by=c$ 其中 $y$ 一般为非正整数
  　　则问题变为用 exgcd 解不定方程
  　　解得 $x_1=x_0\times c÷r$
  　　通解为 $x=x_1+b÷r\times t$
  　　设 $s=\frac{b}{r}$ （已证明 $\frac{b}{r}$ 为通解的最小间隔）
  　　则 $x$ 的最小正整数解为 $(x_1\mathrm{\%}s+s)\mathrm{\%}s$