MC-6A-Spring-L12-7(2)

若方程 \(|(x-5)(x+3)|=|x-1|+m\) 有 \(3\) 个不同的实数解，求 \(m\) 的值。

解：
设 \(y_1=f(x)=|(x-5)(x+3)|, y_2=g(x)=|x-1|+m\)
可得 \(y_1\) 函数图如下：

\(\because\) 函数图对称轴为 \(x=1\)
又 \(\because y_2\) 函数对称轴也为 \(x=1\)
\(\therefore y_1,y_2\) 函数图对称轴相同
\(\because\) 方程 \(|(x-5)(x+3)|=|x-1|+m\) 的解就是两个函数图像的交点
\(\therefore f(x)\) 与 \(g(x)\) 有 \(3\) 个交点
已知，\(|x-1|\) 函数图如下图（因为 \(m\) 为截距，只影响函数所有点于 \(x\) 轴的距离，不影响形状，所以暂时不考虑，下图只展示函数图形状）：

\(1^o f(1)>g(1)\)：共有 \(4\) 个交点 （舍）

\(2^o f(1)<g(1)\)：共有 \(2\) 个交点 （舍）

\(3^o f(1)=g(1)\)：共有 \(3\) 个交点 （即为所求）

\(\therefore f(1)=g(1)\)
此时，代入方程 \(|(x-5)(x+3)|=|x-1|+m\)：
\(|(1-5)(1+3)|=|1-1|+m\)
可得 \(m=16\)
\(\therefore m=16\)