MC-6A-Spring-L15-7

记 $min\{a,b,c\}$ 为实数 $a,b,c$ 中最小的一个。已知函数 $f(x)=-x+1$ 图像上的点 $(x_1,x_2+x_3)$ 满足：对于一切实数 $t$，不等式 $-t^2-2^{x_1^2}t-2^{2+x_1^2-x_2^2-x_3^2}+4^{2-x_2^2-x_3^2}⩽0$ 均成立。如果 $min\{-x_1,-x_2,-x_3\}=-x_1$，求 $x_1$ 的取值范围。

解：
$\because (x_1,x_2+x_3)$ 是函数 $f(x)=-x+1$ 图像上的点
$\therefore -x_1+1=x_2+x_3$
即 $x_1+x_2+x_3=1$
在关于 $t$ 的不等式 $-t^2-2^{x_1^2}t-2^{2+x_1^2-x_2^2-x_3^2}+4^{2-x_2^2-x_3^2}⩽0$ 中，
$\mathrm{\Delta }t=(2^{x_1^2}{)}^2-4\times 2^{2+x_1^2-x_2^2-x_3^2}+4\times 4^{2-x_2^2-x_3^2}$
设$2^{2-x_2^2-x_3^2}=k$
则 $\mathrm{\Delta }t=(2^{x_1^2}{)}^2-4\times 2^{x_1^2}k+4k^2=(2^{x_1^2}-2k{)}^2⩽0$
$\therefore \mathrm{\Delta }t=0$
即 $2^{x_1^2}=2k=2^{3-x_2^2-x_3^2}$
可得 $x_1^2+x_2^2+x_3^2=3$
根据以上条件可得方程组：

$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}{x}_2+x_3=1-x_1\\ x_2^2+x_3^2=3-x_1^2\end{array}\end{array}$$

$\because (x_2+x_3{)}^2=x_2^2+x_3^2+2x_2{x}_3$
$\therefore (1-x_1{)}^2=3-x_1^2+2x_2{x}_3$
可得 $x_2{x}_3=x_1^2-x_1-1$
根据韦达定理可得 ：$x_2,x_3$ 为方程 $m^2-(1-x_1)m+(x_1^2-x_1-1)$ 的两个解
$\therefore \mathrm{\Delta }m=(1-x_1{)}^2-4(x_1^2-x_1-1)⩾0$
又$\because min\{-x_1,-x_2,-x_3\}=-x_1$
$\therefore x_1⩾x_2,x_3$
$\therefore x_1$ 一定在方程 $m^2-(1-x_1)m+(x_1^2-x_1-1)$ 的对称轴的右侧
即 $\frac{1-x_1}{2}⩽x_1$
根据以上条件可得方程组：

$$\begin{array}{l}\{\begin{array}{c}\mathrm{\Delta }m=(1-x_1{)}^2-4(x_1^2-x_1-1)⩾0\\ \frac{1-x_1}{2}⩽x_1\\ f(x_1)⩾0\end{array}\end{array}$$

$\therefore 1⩽x_1⩽\frac{5}{3}$