MC-6A-Spring-L15-7

记 \(\min \{a,b,c\}\) 为实数 \(a,b,c\) 中最小的一个。已知函数 \(f(x)=-x+1\) 图像上的点 \((x_1,x_2+x_3)\) 满足：对于一切实数 \(t\)，不等式 \(-t^2 -2^{x_1^2} t-2^{2+x_1^2-x_2^2-x_3^2}+4^{2-x_2^2-x_3^2} \leqslant 0\) 均成立。如果 \(\min\{-x_1,-x_2,-x_3\}=-x_1\)，求 \(x_1\) 的取值范围。

解：
\(\because (x_1,x_2+x_3)\) 是函数 \(f(x)=-x+1\) 图像上的点
\(\therefore -x_1+1=x_2+x_3\)
即 \(x_1+x_2+x_3=1\)
在关于 \(t\) 的不等式 \(-t^2 -2^{x_1^2} t-2^{2+x_1^2-x_2^2-x_3^2}+4^{2-x_2^2-x_3^2} \leqslant 0\) 中，
\(\Delta t=(2^{x_1^2})^2-4\times2^{2+x_1^2-x_2^2-x_3^2}+4\times4^{2-x_2^2-x_3^2}\)
设\(2^{2-x_2^2-x_3^2}=k\)
则 \(\Delta t=(2^{x_1^2})^2-4\times2^{x_1^2}k+4k^2=(2^{x_1^2}-2k)^2 \leqslant0\)
\(\therefore \Delta t=0\)
即 \(2^{x_1^2}=2k=2^{3-x_2^2-x_3^2}\)
可得 \(x_1^2+x_2^2+x_3^2=3\)
根据以上条件可得方程组：

\[\begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} x_2+x_3=1-x_1\\ x_2^2+x_3^2=3-x_1^2 \end{matrix}\right. \end{array}\]

\(\because (x_2+x_3)^2=x_2^2+x_3^2+2x_2x_3\)
\(\therefore (1-x_1)^2=3-x_1^2+2x_2x_3\)
可得 \(x_2x_3=x_1^2-x_1-1\)
根据韦达定理可得 ：\(x_2,x_3\) 为方程 \(m^2-(1-x_1)m+(x_1^2-x_1-1)\) 的两个解
\(\therefore \Delta m=(1-x_1)^2-4(x_1^2-x_1-1)\geqslant0\)
又\(\because \min\{-x_1,-x_2,-x_3\}=-x_1\)
\(\therefore x_1 \geqslant x_2,x_3\)
\(\therefore x_1\) 一定在方程 \(m^2-(1-x_1)m+(x_1^2-x_1-1)\) 的对称轴的右侧
即 \(\frac{1-x_1}{2} \leqslant x_1\)
根据以上条件可得方程组：

\[ \begin{array}{l} \left\{\begin{matrix} \Delta m=(1-x_1)^2-4(x_1^2-x_1-1)\geqslant0\\ \frac{1-x_1}{2} \leqslant x_1\\ f(x_1) \geqslant 0 \end{matrix}\right. \end{array} \]

\(\therefore 1 \leqslant x_1 \leqslant \frac{5}{3}\)