《更好的解释（数学篇）》——第十二章

原文：http://betterexplained.com
原文作者：Kalid Azad
译文转载自：http://blog.gosin.me/2011/04/162/
译文作者：Gosin

微积分导论

我对微积分真是既爱又恨：它既展示了数学的美，又体现出了数学教育中的痛苦。

涉及到微积分的话题都是很优雅的，而且很需要消耗脑力。我能想到的最接近的类比思想就是达尔文的进化论：一旦你想通了，你就会以一种从生存的角度看待自然。你就会明白为什么药物会导致细菌的抗药性（为了生存）。你知道为什么糖和脂肪吃起来很美（在饥饿时候为了鼓励进行高卡路里消耗）。这些都很符合进化论。

微积分也有类似的启人心智的作用。这些公式难道不应该有些关系吗？

 

它们确实有，但是我们通常只是单独的去写这些公式。微积分可以让我们从“圆周长＝2π”开始就可以导出其它公式——即使是古希腊人也可以也可以推导出来。

不幸的是，微积分也可以作为数学教育问题的一个缩影。许多课程都是突出一些做作的例子，神秘的证明，记忆与抽象的符号操作，而这些还没等我们掌握就已经关闭了我们的直觉化思维，并且打击我们的学习热情。

 

12.1 好吧小兄弟，你有什么更好的注意？

不淡定了？我将不会做以下这些事：重新写一些现存教科书已经有的东西。如果你需要这些东西来应付大型考试，那么有大量的网站，班级，视频还有其它一堆东西可以帮助你。

与此相反，我们将分享一些关于微积分的真正洞见。方程式并不够——我希望有一些“醍醐灌顶”的时刻，可以瞬间明白其中的道理。

正式的数学描述只是一种讲述的方式而已。图表，动画，甚至是大白话也可以比满页的证明提供更多的深刻见解。

12.2 但是微积分很难

我觉得每个人都可以理解微积分。因为毕竟不是只有作者才能理解莎士比亚的作品。

现在每个人基本上都懂得一些代数学与一般的数学尝试。因为在不久以前，阅读与写作还仅仅是专业的书记员才能完成的。而现在即便是一个十岁的小孩子也可以进行阅读与写作。为什么呢？

因为我们希望我们会，这种希望在“决定什么事是可能”中扮演着重要的角色，希望对微积分怀有这种希望又是一个话题。有些人希望能深入到细节中去（作家/数学家）。但是剩下的我们完全可以只关注发生了什么就够了，并且就此继续下去。

这取决于你希望对微积分了解多深。我当然希望每一个人都能理解微积分的核心概念，并且能发出一声惊叹。

12.3 那么微积分是关于什么的呢？

有些定义说微积分就是“一个处理一个或多个变量的微分或积分或者是极限的函数的数学分支”。很正确，但是也帮不上菜鸟什么忙。

这是我的结论：微积分就跟代数在算术上的地位一样。

• 算术是关于操作数字的（加法，乘法等等……）
• 代数是发现数字间的规律：a² +b² =c² 就是一个著名的关系，描述了直角的两个边。代数帮你发现各种类型数字的集合——如果你知道a与b，然后就可以知道c了。
• 微积分帮助你发现方程式间的规律：你可以发现一个方程式（圆周＝2πr）与另一个类似的方程式（面积＝πr²）联系起来的。

使用微积分，我们可以解答以下问题:

• 方程式是怎样增长与缩小的？经过一段时间它是如何积累？
• 什么时候它达到最高点或最低点？
• 如果我们如何处理一直在变化的变量？（热量，运动，人口……）
• 还有更多，更多！

代数与微积分是解决问题的二重奏：微积分发现新的方程式，然后用代数解决。就像进化论，微积分拓展你对自然的理解。

12.4 请举一个例子

让我们试试看。假设我们现在有一个周长方程（2πr），然后我们想找出面积方程。我们应该怎么做呢？

你应该能发现一个光碟可以像是俄罗斯娃娃一样嵌套起来的。

 

以下就是两种画出一个光碟的方法：

• 画一个圆，然后把它涂满
• 画一堆圈然后把它们套在一起

两种方法画出来的面积应该一样，对吧？而一个圈的面积是多大呢？

最大的圆的半径应该是“r”，而周长就是2πr。越到里面的圈，半径越小，但是跟半径始终保持2Π倍的关系。最小的圈应该像是一个点，它没有周长。

 

接下来事情就变得又去多了。让我们把这些圈展开成直线，会发生什么呢？

• 我们得到一堆线条，把它们组成一个锯齿状的三角形。但是如果我们把圈变得很细呢？这个三角形的锯齿应该变得越来小。取得尽可能小以便达到更高的精确度是微积分的基本宗旨。
• 一边有着最小的圈（0），而另一边有着最大的圈（2πr）。
• 我们有着半径从0到r的圈。取遍每一个可能的半径，我们把它们放在对应位置。
• “圈三角形的面积”＝底·高/2＝r（2πr）/2＝πr² ，这就是圆的面积公式！

很棒！圈面积的和＝三角形的面积＝圆的面积！

这只是一个简单的例子，但是你明白其中的核心要点吧？我们取了一个光碟，然后把它分开，然后把碎片用另一种方法组合起来。微积分告诉我们一个光盘是如何与圈联系起来的：一个光盘就是一大堆圈。

这个主题再一次在为微积分中出现：大事物其实都是由小东西组成的。而有时候小东西更容易处理。

12.5 关于例子的一些提示

许多微积分示例都是基于物理的。这很棒，但是很难联系起来：说实话，你用物体的速度公式有多频繁？一个星期也不不到一次吧。

我更喜欢使用客观存在，可视化的示例来进行演示，因为我们的大脑就是这样工作的。你可以亲自使用纸片做一个圆盘，然后把它们剪开，然后拉直摆放成一个大概的三角形来看看是否真的可行。这可是在速度公式中办不到的。

12.6 关于严谨的一些提示（针对数学专业）

我知道有些数学呆子可能都要把键盘扔向屏幕了。这是我关于“严谨”的一些看法。

你知道我们并不是以牛顿与莱布尼茨发现微积分时的方法去学习微积分的吗？他们使用了“不断的变化”（fluxions）与“极微小的”（infinitesimal）这些直观化的概念而不是极限，因为“没错，实践中这确实可行。但是在理论中是否一样可行呢？”。

我们创造出了“严谨的”理论体系来证明微积分，但是却忽略了我们直觉。

我们从脑化学的角度去看待糖，而不是根据自然天性去说“它有很多能量，我要吃掉它。”

我不想（也没有资格）去教授分析课程或是培养研究生。但是让普通大众跟牛顿一样用一种“非严谨”的方式去理解微积分有什么不好？这可以改变他们看待世界的方式，同样也改变了牛顿。

不合时宜的关注严谨会阻碍学生，同时也让数学变得难学。举个例子：e是通过极限定义的，但是它的发现确实通过对增长的直观化观察得到的。自然对数可以看作是积分，也可以看作是增长所需要的时间。哪种解释更有可能帮助新手理解呢？

让我们继续沿着这条路随手画画，然后发现其中的精彩之处。希望你能享受到快乐的数学。