次小生成树
次小生成树
定义
设G=(V,E)是连通的无向图，T是图G的一个最小生成树。如果有另一棵树T1，T1<>T，满足不存在树T’,T’<>T，w(T’)<w(T1),则称T1是图G的次小生成树。
定理
存在边(u,v)T和(x,y)T满足T\(u,v)(x,y)是图G的次小生成树。
分析
既然存在边(u,v)T和(x,y)T满足T\(u,v)(x,y)是图G的次小生成树， 那么所有的T\(u,v)(x,y)刚好构成了T的邻集，则T的邻集中权值最小的就是次小生成树了。但是如果我们每次枚举(u,v)和(x,y)，还要判断能否构成一棵树，复杂度就太高了，至少是O(n*m)。效率比较高的做法是先加入(x,y)，对于一棵树，加入(x,y)后一定会成环，如果删去环上除(x,y)以外的最大一条边，会得到加入(x,y)后的权值最小的一棵树。如果能快速计算出最小生成树中点x到y之间路径中最长边的长度，这个问题就很好的解决。最小生成树中x到y的最长边的长度可以用树形动态规划或者LCA等方法在O(n2)的时间复杂度内计算出，那么整个算法的时间复杂度就可以达到O(n2+n2+m)=O(n2)的时间复杂度内解决了。另外，如果用Kruskal算法求最小生成树，可以在算法的运行过程中求出x到y路径上的最长边，因为每次合并两个等价类的时候，分别属于两个等价类的两个点间的最长边一定是当前加入的边，按照这条性质记录的话就可以求出所有的值了。
具体实现
在Kruskal算法的基础上进行修改，加入对x,y两点在最小生成树上路径中最长边的计算，存入length[][]数组。使用链式前向星记录每个集合都有哪些点。为了合并方便，除了head[]记录每条邻接表的头结点位置外，end[]记录每条邻接表尾节点的位置便于两条邻接表合并。Mst为最小生成树的权值，secmst为次小生成树的大小。在存在权值相同的边的情况下，secmst有可能等于mst。
代码：
Procedure Kruskal;
//初始化邻接表，对于每个节点添加一条指向其自身的边，表示以i为代表元的集合只有i
For i:=1 to n do
Begin
Link[i].to:=i;
Link[i].next:=-1;
End[i]:=i;
Head[i]:=i;
End;
Quick_sort(1,m);
For i:=1 to m do
Begin
If k=n-1 then break;
If e[i].w<0 then continue;
X:=father(e[i].a);
Y:=father(e[i].b);
If x<>y then
Begin
U:=head[x];
While u<>-1 do
Begin
V:=head[y];
While v<>-1 do
Begin
Length[link[u].to][link[v].to]:=e[i].w;
Length[link[v].to][link[u].to]:=e[i].w;
End;
End;
Link[end[x]].next:=head[y];
End[x]:=end[y];
Union(x,y); //注意，此处根据上两行的操作得 fa[y]:=x;
Inc(k);
E[i].select:=true;
End;
End;
//主程序
Begin
Kruscal;
Mst:=0;
For i:=1 to m do if e[i].select then inc(mst,e[i].w);
Secmst:=maxlongint;
For i:=1 to m do if not(e[i].select) setmst:=min(secmst,mst+e[i].w-length[e[i].a][e[i].b]);
End;
