动态规划

一、动态规划思想

动态规划的方法有两种，一种是带备忘录的递归，一种是递推求解。递推求解是先自顶向下再自底向上求解，而带备忘录递归则只有自底向上，其效率会更高。

动态规划算法其实就是填表的过程，在填表的过程中不断的比较与择优。

动态规划算法其基本思想也是将原问题分解成若干个子问题，通过求解子问题得到原问题的解。但与分治法不同的是，适合于用动态规划求解的问题，经分解得到子问题往往不是互相独立的。

 动态规划算法的解题步骤：

（1）确定dp数组以及下标的含义

（2）确定递推公式

（3）dp数组如何初始化

（4）确定遍历顺序

（5）举例推导dp数组（用于debug）

二、0-1背包问题

1、题目：有n件物品和一个最多能背重量为w 的背包。第i件物品的重量是weight[i]，得到的价值是value[i] 。每件物品只能用一次，求解将哪些物品装入背包里物品价值总和最大。

2、步骤：

（1）确定dp数组含义：dp[i][j]表示从下标为[0-i]的物品里任意取，放进容量为j的背包，价值总和最大是多少。

（2）确定递推公式：dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i]) (比较选与不选的结果）。

（3）dp数组初始化：当背包容量为0时，可以放入的价值为0；当有0件物品可以选时，可以放入的价值也为0。

（4）遍历顺序：先遍历物品在遍历背包容量或者先遍历容量再遍历物品都可，因为根据递推公式，dp[i][j]的值是根据左边或者左上角推出来的，只要确保在计算到dp[i][j]时，其左边或左上角的值都已经计算好即可（一般都是先遍历物品再遍历背包）

3、优化空间复杂度

使用一维数组（滚动数组）来代替二维的dp数组，因为通过递推公式dp[i][j] = max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-weight[i]]+value[i])可以发现，dp[i][j]和上一层的数据有关，如果将第i-1层的数据直接拷贝的第i层，那么递推公式可以变成dp[i][j] = max(dp[i][j],dp[i][j-weight[i]]+value[i])，由于第一维都是i,那么就可以降维了。此时，dp[j]数组的定义是当背包容量为j时，价值总和最大为多少。

注意：遍历顺序一定是先遍历物品，再遍历背包容量，从后往前倒序遍历（保证物品只被放入一次）

倒序：由于dp[i][j]是根据上一行的左边的值计算出来的，因此一维数组需要从右往左倒序遍历，才能保证dp[i][j]上一行左边的值不会被覆盖。

4、确定0-1背包问题

（1）物品只能被选择一次  （2）确定背包的体积是什么  （3）确定商品的体积和价值是什么

5、求装满背包的方式

方式就是dp[j-nums[i]]累加

如果是组合数，则说明物品没有先后顺序，{1,2}和{2,1}是一样的，为了不重复计算，遍历顺序应该是先物品再背包容量

如果是排列数，则说明物品是有先后顺序的，{1,2}和{2,1}是不一样的，为了不漏计算，遍历顺序应该是先背包容量再物品

三、完全背包问题

和0-1背包问题的区别是，物品可以被放入多次，因此使用一维数组时，遍历顺序与0-1背包有所不同，是先遍历物品，再遍历背包容量，从前往后正序遍历（保证物品可以被放入多次）

四、子序列问题

dp数组通常定义为以i结尾的序列的结果

子序列定义：由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序，保持相对位置一致。

①连续递增子序列：只和i-1有关

②不连续递增子序列：和前i-1个都有关